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数列极限的几种求法
数学组周彬
摘要:数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,。
关键词:数列,极限,收敛
Several kinds of laws of asking of several lines of limit
shuxuezu Zhou Bin
Abstract: Several limit theory foundation of calculus, it run through on infinitesimal calculus all the time, it is a infinitesimal calculus important research approach. Several lines of limit are ponents of the limit theory, and several lines of limit one asks the law to adopt the law of defining, insert the method on both sides , have circle laws dully , construct the sincere formula law now , ,etc.. This text mends some of several lines of limit to ask the law emphatically.
Keyword: Several, limit, disappear
以下介绍数列极限的求法:
一、定义法:
数列极限的定义如下:设{}是一个数列,若存在确定的数a,对>0 N>0使当n>N时,都有<则称数列{}收敛于a,记为=a,否则称数列{}不收敛(或称数列{}发散)。故可从最原始的定义出发计算数列极限。
用-N方法求
解:令=t+1 则 t>0
n+1=

>0 取则当时,有
=1
二、单调有界法:
首先我们介绍单调有界定理,其内容如下:
在实数系中,有界的单调数列必有极限。
证明:不妨设{}为有上界的递增数列。由确界原理,数列{}有上界,记为{}。以下证明a就是{}的极限。事实上,>0,按上确界的定义,存在数列{}中某一项,使得又由{}的递增性,当时有
,
这就证得。同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界。
例2、证明数列
收敛,并求其极限。
证:,易见数列{}是递增的。现用数学归纳法来证明{}有上界。
显然。假设,则有,从而对一切n 有,即{}有上界。
由单调有界定理,数列{}有极限,记为a 。由于
,
对上式两边取极限得,即有
(a+1)(a-2)=0,解得 a=-1或a=2
由数列极限的保不等式性,a=-1是不可能的,故有

三、运用两边夹法:
迫敛法:(两边夹法)设收敛数列{},都以a为极限,数列满足:存在正数当时有(1) 则数列收敛且
证: 由分别存在正数与使得
当时有(2)
当时有(3)
取则当时不等式(1),(2),(3)同时