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CAGD复习知识点
第一章
1 工业产品的形状大致可以分为两类:一种是可以由画法几何和工程制图清晰描绘的初等解析曲面;另一种则是不能有画法几何和工程制图描绘的自由型的曲线曲面。
2 CAGD的原理:首先根据形状的几何信息,建立相应的曲线曲面方程,并通过在计算机上执行计算和处理程序,从而计算出曲线曲面上大量的点和其他信息。
3 形状信息的计算机表示的核心:形状信息的计算机表示,即找到既适合计算机处理且有效地满足形状的表达与几何设计的要求,又能方便形状信息的传递和产品数据的交换的形状描述的数学方法。
4 形状数学描述的思想:将传统的由标量表示的显函数转化为用参数表示的矢函数的形式。
5 形状几何的基础:微分几何。
6 形状数学描述基本要求:唯一性和几何不变性。后续要求:易于定界、统一性和计算机处理简单易行。
从形状表示和处理的角度:
具有丰富的表达力和灵活相应的能力;易于连接和光顺连接;易于实现对形状的控制;几何直观。
7 CAGD长期待解决的问题:用于工业产品形状数学描述的标准形式,曲线曲面的形状控制、曲线曲面的光顺连接与统一表示。
8 微分几何与CAGD的关系:微分几何与CAGD都是用矢函数来描述曲线曲面的,不同的是前者是研究曲线曲面上某点附近的微分性质;而CAGD则是研究符合形状数学描述要求的工业产品形状描述的数学方法。
9 曲线曲面用参数表示的形式:
平面曲线:;空间曲线:;
曲面:;
参数表示的矢函数的优缺点:
优点:易于表示封闭曲线、多值曲线和无穷大斜率曲线,独立于坐标轴易于进行变换,易于生成复合曲线,易于控制,易于拟合和操作自由外形,同时还可以通过具有几何不行性的基函数将不具有几何不变性的函数转化为具有几何不变性的曲线曲面。
缺点:高度的灵活性导致求交和点的分类算法十分复杂。
10 曲线曲面参数化包含了两方面的意义:即曲线曲面的形状以及其上的点与参数域内的点的对应关系。
曲线曲面的奇点(重点、尖点以及切矢消失点)以及正则曲线曲面。
11 当曲线的切实存在时,则切矢的方向即曲线参数域内参数增加的方向,就是曲线的方向;当曲线的切实消失时,则以最低阶的非零切矢方向为准。
12 选用曲线的弧长作为参数,即弧长的参数化,对曲线切矢长度的影响:此时,曲线对弧长的一节导数为单位矢量,及长度恒为1。
但是对于参数多项式曲线不能选用弧长作参数,原因在于:若采用弧长作参数,且仍满足弧长参数化要求的话,那么参数多项式的最高次数退化为1,为直线。
13 曲线在一点处的三个基本切矢:当用弧长为参数时:单位切矢,;主法矢,
;副法矢,。
当用一般的参数时:单位切矢,;主法矢,;副法矢,。
曲线论的基本公式及其反应的关系:
14 从几何意义上看,曲率为曲线的单位切矢对弧长的转动率;挠率的绝对值为曲线的副法线方向对弧长的转动率。
从模长与方向上看,曲率的模长等于曲线的单位切矢对弧长的导数的长度,其方向与主法矢的方向相同,指向曲线凹的一侧。
对于一般参数的曲率与挠率的求解公式。
15 曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的几何不变量,且对弧长的各阶导矢量是曲线的不变量,都与参数的选取无关。
16 平面曲线引进相对曲率的意义:由于绝对曲率无法反应平面曲线的弯曲方向,另外当主法矢与副法矢经拐点时容易发生突变,因此引进了相对