图像的DCT变换.doc

第1章相关知识
数字图像
数字图像,又称数码图像或数位图像,是二维图像用有限数字数值像素的表示。数字图像是由模拟图像数字化得到的、以像素为基本元素的、可以用数字计算机或数字电路存储和处理的图像。
数字图像处理
数字图像处理(DigitalImageProcessing)是通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。数字图像处理的产生和迅速发展主要受三个因素的影响:一是计算机的发展;二是数学的发展(特别是离散数学理论的创立和完善);三是广泛的农牧业、林业、环境、军事、工业和医学等方面的应用需求的增长。
DCT变换在数字图像应用
在JPEG各类图像压缩算法中,基于离散余弦变换(DCT ,Discrete Cosine Transform) 的图像压缩编码过程称为基本顺序过程,它应用于绝大多数图像压缩场合, 并且它能在图像的压缩操作中获得较高的压缩比。另外,重构图像与源图像的视觉效果基本相同。DCT变换是在最小均方误差条件下得出的最佳正交变换,且已获得广泛应用, 并成为许多图像编码国际标准的核心。DCT变换的变换核心为余弦函数,计算速度较快, 有利于图像压缩和其他处理。 MATLAB是由美国Math2Works公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算软件, 它集数值分析、矩阵计算、信号处理和图形显示多种功能于一体,构成了一个方便的界面,友好的用户环境。。
第2章课程设计分析
DCT在MATLAB的实现
第一种方法是使用函数dct2,该函数使用一个基于FFT的快速算法来提高当输入较大的输入方阵时的计算速度。dct2函数的调用格式如下:
dct2 B=(A,[M N])或B=dct2(A,M,N)
其中,A表示要变换的图像,M和N是可选参数,表示填充后的图像矩阵大小。B表示变换后得到的图像矩阵。
第二种方法使用由函数dctmtx返回的DCT变换矩阵,这种方法较适合于较小的输入方阵(如或方阵)。dctmtx的调用格式如下:
D=dctmtx(N)
其中,N表示DCT变换矩阵的维数,D为DCT变换矩阵。
DCT 的基本原理
DCT 变换在图像压缩中有很多应用,它是JPEG,MPEG 等数据压缩标准的重要数学基础。在压缩算法中,先将输入图像划分为 8×8 或 16×16,的图像块,对每个图像块作DCT 变换;然后舍弃高频的系数,并对余下的系数进行量化以进一步减少数据量;最后使用无失真编码来完成压缩任务。解压缩时首先对每个图像块做 DCT 反变换,然后将图像拼接成一副完整的图像。
DCT 的定义:
DCT 变换利用傅立叶变换的性质,采用图像边界褶翻将图像变换为偶函数形式,然后对图像进行二维傅立叶变换,变换后仅包含余弦项,所以称之为离散余弦变换。
二维离散余弦变换DCT(Discrete Cosine Transform)的定义为,假设矩阵A 的大小为M ×N。



其中, , 称为矩阵A 的DCT 系数。在MATLAB 中,矩阵的下标从1 开始而不是从0 开始的,所以MATLAB 中的矩阵元素A(1,1)和B(1,1)分别对应于上面定义中的值和,
依此类推。 DCT 是一种可逆变换,离散反余弦变换定义如下:


上式的含义是任何M×N 的矩阵A 都可以表示为一系列具有下面形式的函数的和:

这些函数称为 DCT 变换的基函数。这样, , 就可以看成是应用于每个基函数的加权。
DCT 的算法:
离散余弦变换可以由定义式出发进行计算。但这样的计算量太大,在实际应用中很不方便。所以需要寻求一种快速算法。以一维离散余弦变换为列,对快速算法进行推导。


对时域数据向量做如下列延拓:
当x=0,1,2,.........N-1 fe(x) =f(x)
当x=N,N+1,........2N-1时 fe(x)=0
则fe(x)的离散余弦变换可写成下列:


=
=
由上式可见:

是2N点的;离散傅里叶变换所以在离散余弦变换时,可以吧序列长度延拓为2N,然后作离散傅里叶变换,产生的结果取其实部即可得到余弦变换。
同理对于离散余弦变换IDCT,可首先在变换空间将[F(u)]作如下延拓:
当u=0,1,2,3,........N-1时 Fe(u)=F(u)
当u=N,N+1,N+2,.........,2N-1时 Fe(u)=0
那么,反变换可表示:

=
=
由上式可见,IDCT可以由的2N点的IDFT的