四点共圆例题及答案.doc

例1 如图,E、F、G、:E、F、G、H四点共圆.

证明菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,连接OE、OF、OG、OH.
∵AC和BD 互相垂直,
∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中,E、F、G、H,分别是AB、BC、CD、DA的中点,


即E、F、G、H四点共圆.
(2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),则四点共圆.
例2 如图,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC.
求证:B、E、F、C四点共圆.

证明∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED+∠AFD=180°,
即A、E、D、F四点共圆,
∠AEF=∠ADF.
又∵AD⊥BC,∠ADF+∠CDF=90°,
∠CDF+∠FCD=90°,
∠ADF=∠FCD.
∴∠AEF=∠FCD,
∠BEF+∠FCB=180°,
即B、E、F、C四点共圆.
(3)若两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边的同侧,那么这两个三角形有公共的外接圆.


证明在△ABC中,BD、CE是AC、AB边上的高.
∴∠BEC=∠BDC=90°,且E、D在BC的同侧,
∴E、B、C、D四点共圆.
∠AED=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AED∽△ACB.

上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法,至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙述了.
 
【例1】在圆内接四边形ABCD中,∠A-∠C=12°,且∠A∶∠B=2∶∠A、∠B、∠C、∠D的度数.
解∵四边形ABCD内接于圆,
∴∠A+∠C=180°.
∵∠A-∠C=12°,
∴∠A=96°,∠C=84°.
∵∠A∶∠B=2∶3,

∠D=180°-144°=36°.
利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题.
【例2】已知:如图1所示,四边形ABCD内接于圆,CE∥:AD·BE=BC·DC.
证明:连结AC.
∵CE∥BD,
∴∠1=∠E.
∵∠1和∠2都是所对的圆周角,
∴∠1=∠2.
∠1=∠E.
∵四边形ABCD内接于圆,
∴∠EBC=∠CDA.
∴△ADC∽△CBE.
AD∶BC=DC∶BE.
AD·BE=BC· DC.
本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件,进而得到结论.
关于圆内接四边形的性质,,现介绍如下:
定理:圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.
已知:如图2所示,:AC·BD=AB·CD+AD·BC.
证明:作∠BAE=∠CAD,AE交 BD于 E.
∵∠ABD=∠ACD,

即 AB·CD=AC·BE. ①
∵∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,
∴∠BAC=∠∠ACB=∠ADE,

AD·BC=AC·DE. ②
由①,②得AC·BE+AC·DE=AB·CE+AD·BC
AC·BD=AB·CD+AD·BC
这个定理叫托勒密(ptolemy)定理,△ABE∽△ACD,充分利用相似理论,,希望能引起我们注意.
命题“菱形都内接于圆”对吗?
命题“菱形都内接于圆”:根据圆的内接四边形的判定方法之一,如果一个四边形的一组对角互补,,,它们的内角和不一定是180°.如果内角和是180°,而且又相等,那么只可能是每个内角等于90°,既具有菱形的性质,且每个内角等于90°,,不能说明一般情形.
判定四边形内接于圆的方法之二,,又是轴对称图形,,又是轴对称图形,,也无法确定菱形一定内接于圆;如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相等,再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质,那么这个四边形又必是正方形.
综上所述,“菱形都内接于圆”这个命题是错误的.
5圆的内接四边形