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磁汇聚
一束水平向右发射的平行带正电粒子束射向圆形匀强磁场区,若粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径,试证明所有进入磁场的粒子将从同一点射出圆形磁场区,并确定该点的位置。
P1
O
v
B
O1
r v
r v
Q1
P2
O2
证明:以任意一个入射点P1为例,设轨道圆圆心为O1,射出点为Q1,磁场圆和轨道圆的半径均为r,由已知,O1P1=O1Q1=OP1=OQ1=r,由几何知识,四边形O1P1OQ1为菱形。P1O1是洛伦兹力方向,跟初速度方向垂直,菱形的对边平行,因此OQ1也跟初速度方向垂直,Q1是圆周的最高点。
反之也可以证明:只要粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径,那么从磁场圆周上同一点沿各个方向射入圆形磁场的粒子,射出后一定形成宽度为磁场圆直径的平行粒子束。
x
y
O
E
B
r
r
,在x-O-y坐标系中,以(r,0)为圆心、r为半径的圆形区域内存在匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里。在y > r的足够大的区域内,存在沿y轴负方向的匀强电场,场强大小为E。从O点以相同速率向不同方向发射质子,质子的运动轨迹均在纸面内,且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r。已知质子的电荷量为q,质量为m,不计质子所受重力及质子间相互作用力的影响。⑴求质子射入磁场时速度的大小;⑵若质子沿x轴正方向射入磁场,求质子从O点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间;⑶若质子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从O点射入第一象限的磁场中,求质子在磁场中运动的总时间。

1.⑴⑵= +
⑶t总= (示意图如右。无论θ取何值,从磁场边缘A射出时必然沿y轴正向,在电场中往返后,又从A沿y轴负向返回磁场,从C射出。从几何关系可以判定,图中O2OO1A和O3CO1A都是边长为r的菱形,因此OA弧和OC弧对应的圆心角∠O2和∠O3之和为180º,质子在磁场中经历的总时间是