数学破题36计(5-8).doc

第5计才子开门风情万种
●计名释义
所谓才子,就是才思繁捷的弟子. 数学才子,也像画学才子一样,胡洒乱泼,墨皆成画. 这里,人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来,科学的规律,艺术的工夫,全藏肘后. 别人肩上的重负,移到他的掌上,都成了玩意儿.
●典例示范
[引例] 试比较以下三数的大小:,,
[解一] 建构函数法
设f (x) = f'(x)=ln≤0 f (x)为减函数>>
[旁白] 才子一看,发现是个错解,于是有以下的评语.
[评语] 学了导数可糟糕,杀鸡到处用牛刀,单调区间不清楚,乱用函数比大小.
[解二] 作差比较法
-=<0
-=>0
[旁白] 才子一看,答案虽是对的,但解题人有点过于得意,因此得到以下评语.
[评语]解题成本你不管,别人求近你走远,作差通分太费力,面对结果向回转.
[旁白] 大家听才子这么说,纷纷要求才子本人拿出自己的解法来,于是有了以下的奇解.
[奇解] ×=<1 ×=>1 >>
[旁白] 大家一看,十分惊喜,但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.
[自评] 标新本来在立意,别人作商我作积,结果可由心算出,不用花费纸和笔.
[旁白] 这时,上面那位提供解法一的人有点不服气:难道“求导法”就不能解出此题吗?
才子回答:当然能!不过需要“统一单调区间”,请看下解
[正解] f (x) = f'(x)=ln<0 (x≥3)
>> >>
[旁白] 大家一看,齐声说妙,要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.
[评语] 因为数3比e大,单调区间从3划,数4也在本区间,故把数2搬个家.
【例1】已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b= ( )
A.(,) B.(,) C.() D.(1,0)
【特解】由|b|=1,排除C;又b与x轴不平行,排除D;易知b与a不平行,.
【评说】本解看似简单,但想时不易,要看出向量b与A()是平行向量,一般考生不能做到.
【别解】因为b是不平行于x轴的单位向量,可排除C、D两项. 又a·b=,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.
【评说】本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算,真是淘尽黄沙始是金啊!
【另解】设b=(cosα,sinα),则a·b=(,1)·(cosα,sinα)= cosα+sinα= sin(60°+α)=在区间(0,π)上解α得:α=60°.
故b=().
【评说】本题涉及解三角方程,并确定解答区间,这不是一个小题的份量.
【错解】选A者,误在(a,
选C者,误在|()·a|=1.
选D者,没有考虑到(1,0)与x轴平行.
【评说】本题三个假支的设计,其质量很高,各有各的错因,相信各有各的“选择人”.
●对应训练
(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x·f(x)<0}等于( )
A.{x|x>3或-3<x<0} B.{x|0<x<3或x<-3}
C.{x|x>3或x<-3} D.{x|0<x<3或-3<x<0}
,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这6项工程的不同排法种数是.(用数字作答)
●参考答案
,结合其草图即可写出所求答案.
解析一由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图(1)),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x·f(x)<0的解集为{x|0<x<3或-3<x<0},选D.
(1) (2)
解析二由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>0)的草图(如图(2)),∵x、f(x)均为R上的奇函数,∴x·f(x)为偶函数,∴不等式x·f(x)<0的解集关于原点对称,故先解借助图象得0<x<3,由对称性得x·f(x)<0的解集为{x|0<x<3或-3<x<0},故选D.
解析三借助图(1)或图(2),取特殊值x=2,知适合不等式x·f(x)<0,排除A、C;又奇·奇=偶,∴x·f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,故选D.
【点评】,掌握相关性质,,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简