机械设计中病态问题的求解方法_在机构综合中的应用_.pdf

理论探索 2011年1月刊
总第302期
机械设计中病态问题的求解方法
(在机构综合中的应用)
王书满
(中国矿业大学徐州市广播电视大学江苏徐州 221116)
[摘要]本文应用矩阵的“伪秩”概念,求解病态位置的机械设计问题。该方法计算稳定性、收敛
性好。
[关键词]矩阵伪秩求解病态
[中图分类号]TH122 [文献标识码]A [文章编号]1009-5349(2011)01-0080-03
引言的。因实际问题中数据往往是由于实验测定或计算所得到
在机构综合、机器人运动学计算中,常常出现线性方程的,数据误差是不可避免的,另外计算机的字长限制不可避
免地有舍入误差存在;另一方面从计算机字长有限这一观点
组的求解问题,由于机构参数、机器人逆运动学计算不同位→→
置以及非线性方程迭代的初始值选择等会使要求解的方程组来看,摄动量的相对精度如║δA║/║A║或║δb║/║b║
本身出现病态(奇异)或近病态(奇异)方程组。同时由于是有一定局限的,它们并不能任意小。
问题中的数据本身具有一定的误差,加上计算机进行计算的由上分析可知,对于一个给定的计算问题所必须研究的
过程中,由于计算机的字长有限,不可避免地要产生舍入误一个重要问题是:问题中参数的微小变动,对问题的解会产
差,这两种误差都会使现行方程组出现病态(奇异)和近奇生什么样的影响。这就是问题(理论)解对于参数变动的敏
异问题。如对奇异位置和近病态位置问题求解不当,所得到感性问题。如果问题中参数的微小摄动能所引起的相对摄动
的计算结果并不是原始问题的解。本论文应用矩阵“伪秩”不大,称这种计算问题为良态问题。但是若问题中参数有微
概念求解病态(奇异)方程,该方法计算稳定性、收敛性小的相对摄动时,解会引起“巨大”的相对摄动,这种问题
好,计算速度快。称之为病态问题或是奇异问题。病态问题是计算数学领域中
一、计算问题的良态、病态普遍存在的问题。因此,在进行实际计算时,如何判别问题
→→的良态、病态、病态程度以及如何解决病态问题的求解是十
线性方程组Ax=b <1>
→分重要的。
式中:x是含n个未知量的n维向量。
→
b是一个m维向量。二、病态程度的度量
A是m×n阶矩阵。对广义逆矩阵的计算问题以及与其相关联的最小二乘问
线性方程组<1>的求解问题有两种。一种是相容方程组题的病态程度,可用相应的矩阵条件数k(A)来度量。
→+
的求解,它是指存在向量x∈R满足方程组<1>。另一种是不 k(A)=║A ║║A║<5>
相容方程组的求解,方程组<1>,当m﹥n或m﹤n但矩阵A的秩 k(A)越大,“病态”越严重,k(A)越小,“良态”越
小于m时,它是指不存在一般意义下的x∈R满足方程组<1>。好。
这种方程又称为矛盾方程组。三、病态问题的处理方法
不论是相容方程组还是矛盾方程组,方程组<1>的解在许多实际计算问题中,所遇到的参数矩阵A常常是满
为: 秩的(理论证明是满秩的),但如果按满秩进行计算,不仅
→→
x=A+b <2> 得不到好的计算结果,甚至会使计算不能进行下去。为解决
式中:A+是矩阵A的广义逆矩阵。当矩阵A是一个n×n阶此问题常采用降秩方法,引用