正定二次型.doc

正定二次型
授课题目: 正定二次型
授课时数:4学时
教学目标:掌握正定二次型的定义、性质及判定条件
教学重点:正定二次型的性质及判定条件
教学难点:正定二次型的判定条件
教学过程:
一. 实二次型的分类
数域F上文字x1, x2,…, xn的二次型f(x1, x2,…, xn)=XTAX可以看成是定义在Fn上的n元数值函数,对任意α=(c1,c2,…,cn)T∈Fn有f(c1,c2,…,cn)=αTAα为F中惟一确定的数,即f:Fn→,我们可以根据下列定义,对二次型进行适当分类.
定义1 n元实二次型f(x1, x2,…, xn)=XTAX,如果对任意一组不全为零的实数(c1,c2,…,cn),都有
1)f(c1,c2,…,cn)>0,则称该二次型为正定的;
2)f(c1,c2,…,cn)<0,则称该二次型为负定的;
3)f(c1,c2,…,cn)≥0,则称该二次型为半正定的;
4)f(c1,c2,…,cn)≤0,则称该二次型为半负定的;
5)f(c1,c2,…,cn)>0即不是半正定的又不是半负定的,则称其为不定的.
由定义不难看出,二次型f(x1, x2,…, xn)=++…+是正定的,但二次型
f(x1, x2,…, xn)=++…+(r<n)不是正定二次型,二次型f(x1, x2,…, xn)=d1+d2+…+dn正定的充分必要条件是:d i>0, i=1,2, …,n.
二. 实二次型正定性的判定
1. 可逆线性替换与实二次型的正定性
可逆线性替换不改变实二次型的正定性.
证若f(x1, x2,…, xn)=XTAX正定,经可逆线性替换X=PY化为
g(y1, y2, …, yn)=YTBY(其中B=PTAP),对任意一组不全为0的实数
α=(c1,c2,…,cn)T,注意到P可逆且α≠0,有Pα≠0,从而有
g(c1,c2,…,cn)=αTBα=αT(PTAP)α=(Pα)TA(Pα)>0
这说明二次型g(y1, y2, …, yn)=YTBY正定.
反之,若二次型g(y1, y2, …, yn)=YTBY正定,对任意一组不全为0的实数
α=(c1,c2,…,cn)T有P-1α≠0,从而
αTApα=αT[(P-1)TB(P-1)]α=(P-1α)TB(P-1α)>0.
这说明二次型f(x1, x2,…, xn)=XTAX正定.□
,我们易得
2. 实二次型正定性的判定
若n元实二次型f(x1, x2,…, xn)=XTAX的秩为r,正惯性指标为p,则
1)f(x1, x2,…, xn)正定的充分必要条件是n=r=p;
2)f(x1, x2,…, xn)负定的充分必要条件是n=r且p=0;
3)f(x1, x2,…, xn)半正定的充分必要条件是r=p;
4)f(x1, x2,…, xn)半负定的充分必要条件是p=0;
5)f(x1, x2,…, xn)不定的充分必要条件是r> p>0.
推论1 n元实二次型正定的充分必要条件是:它的典范型为++…+.
显然,n元实二次型f(x1, x2,…, xn)是负定的充分必要条件是:-f(x1,