生日蛋糕问题.doc

实验三生日蛋糕问题
【实验目的】
,加深对积分概念的理解。
、体积等实际应用问题。
。
【实验内容】
一个数学家即将要迎来他90岁的生日,有很多的学生要来为他祝寿,所以要订做一个特大的蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果——口腔医学的悬链线模型,他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径作成下列悬链线函数:
=2-+/5, 0<<1(单位:)
由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕,蛋糕店的老板必须要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算:一个是蛋糕的质量,由此可以确定需要多少鸡蛋和面料;另一个是蛋糕表面积(底面除外),由此确定需要多少奶油。
【实验准备】

用数值方法近似地求一个函数在区间(,)上定积分=的基本思路,可以归结到定积分的定义:
== (1)
其中=<<…<=,=-,∈(,),=1,2,…,。从几何意义上说,对于区间[,]上非负函数,积分值是=与直线=,
=及轴所围成的曲边梯形的面积。在应用问题中,常常是利用微元法进行分析,而问题最终的解归结为微分的和(即积分)。
多元函数的积分称为多重积分。二重积分定义为
= (2)
当非负时,积分值几何上表示曲顶柱体的体积,二重积分的计算主要是转换为两次
单积分来解决,无论是解析方法还是数值方法,如何实现这种转换是解决问题的关键。

由定积分的几何意义我们知道,定积分表示曲线下的面积,不妨先从图形上看
看如何近似计算这块面积。
先将区间(,)等分,称为积分步长,其中=<<…<=
,=,在小区间上用矩形面积近似下面的梯形的面积,可取左端点函数值为小
矩形的高(图中的虚线),或取右端点的函数值为小矩形的高(图中的虚线),于是在整个区间(,)内构成台阶形,容易看出,两个台阶的面积分别为
=, (3)
=, (4)
,两个台阶形分别小于和大于所求面积,(3)、(4)就是计算定积分的矩形公式。



定积分的矩形公式和梯形公式示意图
若将二者平均,则每个小区间上的小矩形变为小梯形(如图中粗实线),整个区间上的梯形面积为
=+, (5)
它相当于用分段线性插值函数作为的近似,(5)式就是常用的梯形求积分公式。
为提高精度可以用分段二次插值函数代替,由于每段要用到相邻两个小区间端点
的三个函数值,所以小区间的数目必须是偶数,记=,=0,1,…,。在第
段的两个小区间上用三个节点(,),(,),(,)作二次插值函数,然后积分可得
=
求段之和就得到整个区间上的近似积分
=, (6)
(6)称为辛普森求积公式(抛物线公式)。

z = trapz( y ) 如果函数y是一个向量,则z返回其积分值;若是矩阵,则z返回一个行向量,每个分量表示对矩阵函数每列的积分;
z = trapz( x , y ) x是表示积分区间离散化向量;y是与x对应的同维数的向量,表示被积函数;z返回积分的近似值;
trapz是最基本的数值积分方法,采用梯形积分法,对积分区间n等分,固定步长,精度低,适用于数值函数和光滑性不好的函数。
例1,求积