东南大学数模课件_3.1量纲分析法.ppt

量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法,它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法,通过量纲分析,可以正确的分析各变量之间的关系,简化试验和便于成果整理。
在国际单位制中,有7个基本量:质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量,它们的量纲分别为 M、L、T、I、、J、和N;称为基本量纲。任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积,
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想,恰当地选择特征尺度,将有量纲量化为无量纲量达到减少参数,简化模型的效果。
动力学物理量的量纲
长度 l 的量纲记 L=[l]
质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中基本量纲
M, L, T
速度 v 的量纲[v]=LT-1
导出量纲
加速度 a 的量纲[a]=LT-2
力 f 的量纲[f]=MLT-2
万有引力常数 G 的量纲[G]
对无量纲量,[]=1(=M0L0T0)
=M-1L3T-2
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例:求单摆运动周期 T 的表达式
l
mg
m
设物理量 T, m, l, g 之间有关系式
假设等价于无量刚量关系式
单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
Pi定理(Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0是与量纲单位无关的物理定律,X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可以表示为
定义量纲矩阵
线性齐次方程组
有 m-r 个基本解,记作
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
则
[l] = L, [v] =LT-1, [] = ML-3, [p] = ML-1T-2, [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
量纲分析示例:(水头损失问题)管道内不可压缩粘性流体的压强差
管道两端压强差 p
管道长l, 流速v, 粘性系数,密度重力加速度g。
m=6, n=3
选取物理量
Ay=0 有m-r=3个基本解
rank A = 3
rank A = r
Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
F(1, 2 ,3 ) = 0与
(l,v,,p,,g) = 0 等价
为得到差 p 的显式表达式
F=0
未定
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
隐函数定理
[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2
量纲分析示例:波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
m=6, n=3