数学_长短_高矮和宽窄.ppt四、经济应用举例
三、立体体积
第五节
一、微元法
二、平面图形的面积
定积分的应用
表示为
一、微元法
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
2) U 对区间[a , b] 具有可加性,
即可通过
“分割,求和, 取极限”
定积分定义
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一个整体量;
用微元法解决实际问题,所求量U应满足以下条件:
解决步骤:
第一步由分割写出微元。求出相应于区间微元的部分量的
微分表达式
第二步由微元写出积分。
这种分析方法成为元素法(或微元分析法)
近似值
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二、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
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边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
图形的面积.
解: 由
得交点
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例2. 计算抛物线
与直线
的面积.
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
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例3. 求椭圆
解: 利用对称性,
所围图形的面积.
有
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
当 a = b 时得圆面积公式
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2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积.
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
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例4. 求双纽线
所围图形面积.
解: 利用对称性,
则所求面积为
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例5. 计算心形线
所围图形的
面积.
解:
(利用对称性)
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