微分减肥减肥计划幻灯片.ppt

微分方程之—
减肥问题
讲课小组: 何伟张波郑健伟
摘要:
在研究实际问题时,常常会联系到某些变量的变化率或倒数,这样所得到变量之间的关系就是微分方程模型。微分方程模型反应的是变量之间的间接关系,因此,在研究能量与运动之间的关系时,得到直接关系,就得求微分方程。

本文利用了微分方程模型求解实际问题,根据基本规律写出了平衡关系式,再利用一定的转换条件转化为简单明了的式子,求解出结果,对于第一问,利用微分方程反解出时间t(天),从而得到每个人达到自己理想目标的天数,同理,对于第二第三问,利用以上方法,加上运动所消耗的能量,也可得到确切的时间,和所要保持体重所消耗的能量。
【关键字】: 微分方程转化能量转化系数

1. 问题重述
现有五个人,身高,体重和BMI指数分别如下表所示,体重长期不变,试为他们按照以下方式制定减肥计划,使其体重减至自己的理想目标,并维持下去:
表一
人数
1
2
3
4
5
身高





体重
100
112
113
114
124
BMI





理想目标
75
80
80
85
90
题目要求如下:
(1) 在基本不运动的情况下安排计划,每天吸收的热量保持下限,减肥达到目标:
(2) 若是加快进程,增加运动,重新安排计划,经 过调查资 料得到以下各项运动每小时每kg体重 消耗的热量如下 表二所示:
表二
运动
跑步
跳舞
乒乓
自行车
(中速)
游泳
(50m/min)
热量消耗/k





(3) 给出达到目标后维持体重的方案。
2. 问题的背景与分析
随着社会的进步和发展,人们的生活水平不断提高,饮食营养摄入的改善和变化,生活方式的改变,使得肥胖成了社会关注的一个问题,为此,联合BMI):
体重(单位:kg)除以身高(单位:m)的平方,,大于25为超重,超过30则为肥胖,据悉我国有关机构针对东方人的特点,。
无论从健康角度,是从审美的角度,人们越来越重视减肥,大量的减肥机构和商品出现,不少自感肥胖的人加入了减肥的行列,盲目的减肥,使得人们感到不理想,如何对待减肥问题,不妨通过组件模型,从数学的角度,对有关的规律作一些探讨和分析。
3. 模型的假设与符号说明
模型假设:
(1) 人体的脂肪是能量的主要存储和提供方式,而且也是减肥的主要目标,因为对于一个成年人来说体重主要由分 组成,包括骨骼,肌肉,水和脂肪。骨骼,肌肉和水大 体上可以认为是不变的,所以不妨以人体的脂肪的重量 作为体重的标志,已知脂肪的转化率为 100% ,每千克 的脂肪可以转化为 8000kcal 的能量(kcal 为国际单位 制单位)。
(2) 忽略个体间的差异(年龄,性别,健康状况等) 对减 肥的影响,人体的体重仅仅看成时间t 的函数 w(t) 。
(3) 由于体重的增加或减少都是一个渐变的过程,所以 w(t) 是连续而且是光滑的。
(4) 运动引起的体重减少成正比于体重;
(5) 正常代谢引起的减少正比于体重,每人每千克体重消耗 热量一般为 ~ kcal,且因人而异。
(6) 人体每天摄入量是一定的,为了安全和健康,每天吸收 热量不要小于 1429 kcal
符号说明:
D: 脂肪的能量转化系数
W(t):人体的体重关于时间 t 的函数。
r :每千克体重每小时运动所消耗的能量( kcal/kg)/h
b :每千克体重每小时所消耗的能量( kcal/kg)/h
A0 : 每天摄入的能量
W1 :五个人理想的体重目标向量
A : 五个人每天分别摄入的能量
W :五个人减肥前的体重
B :每个人每千克体重基础代谢的能量消耗
4. 问题分析

如果以 1 天为时间的计量单位,于是每天基础代谢的能量消耗量应为 B=24b ( kcal/d),由于人的某种运动一般不会是全天候的,不妨假设每天运动 h 小时,则每天由于运动所消耗的能量应为 R= rh ( kcal/d),在时间段( t , t + ∆t) 内能量的变化基本规律为:
取∆t →0, 可得
(1)
其中 a = A/D, d = (B + R)/D, t = 0 (模型开始考察时刻), 即减肥问题的数学模型求解有:
(2)
利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想目标所需的天数。