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排队论
一、M/M/1/GD/∞/∞排队系统
M/M/1/GD/∞/∞排队系统的顾客到达间隔时间和服务时间都服从参数分别为(单位时间段内平均到达顾客数量) 和(单位时间段内平均顾客服务顾客数量)的指数分布。
我们可以用具有下列参数的生灭过程建立M/M/1/GD/∞/∞排队系统的模型:
稳态概率的推导
定义
排队系统的通行强度
系统将不存在稳定状态
系统中的平均顾客数量L的推导
假设系统已经达到稳定状态,系统中存在顾客的平均数量,即系统达到稳定状态时顾客数量的期望值。有时我们将称为平均队长。
定义:
则:
队列中的平均顾客数量的推导
我们有时把等待在队列中的人数的期望值称为平均队列长,或平均等待队长,并用来表示这个值。如果系统中只有0或1个人,则队列中没有人等待;如果系统中有j
( )个人,则队列中将有j-1个人处在等待状态。因此,如果系统已经达到稳定状态,有


又因为,上式可以写成:
队列公式
设某一顾客在排队系统中逗留时间的期望值为(包括在排队等待的时间和接受服务的时间),顾客的平均排队等待时间为。只有在稳定状态已经达到时,才能计算
和的值。
=单位时间内进入系统的平均顾客数量,
=系统中平均顾客数量,
=系统中正在排队的平均顾客数量,
=系统中正在接受服务的平均顾客数量,
=顾客在系统的平均总逗留时间,
=顾客在队列中等待的平均逗留时间,
=顾客接受服务的平均时间。
定理3(Little公式)
对于任何存在稳态概率分布的排队系统,下列公式成立:
系统中没有顾客的概率
系统中j个顾客的概率
系统中平均顾客的数量
正在排队的平均顾客数量
正在接受服务的平均顾客数量
单位时间内进入系统的平均顾客数量
单位时间内接受服务的平均顾客数量
例1、储蓄所的排队系统
某储蓄所只有1个柜台处理个人储蓄业务,平均每小时有10名顾客来存取,平均每位顾客的服务时间为4分钟。顾客到达间隔时间和服务时间均服从指数分布。
求 a)该柜台空闲的概率.
b)在队列中等待的顾客平均数量(不包括正在接受服务的顾客).
c)每位顾客在银行的平均逗留时间(包括服务时间).
d)该柜台平均每小时服务的人数.