黄景炽-医科数学第三章1.ppt

第三章一元函数积分学——不定积分
引言
数学发展的动力主要来源于
17世纪,
面临的四类核心问题中的第四类问题,
的长度、
量.
微积分的创立首先是为了解决当时数
学
即求曲线
曲线围成的面积、
曲面围成的体积、
社会发展的环境力
物体的重心和引力等等.
此类问题的研究具有久远
的历史,
例如,
古希腊人曾用穷竭法求出了某些图
形的面积和体积,
我国南北朝时期的祖冲之、
也曾推导出某些图形的面积和体积,
而在欧洲,
此类问题的研究兴起于17世纪,
修改,
后来由于微积分的创立
大类问题的方法.
祖恒
对
先是穷竭法被逐渐
彻底改变了解决这一
由求运动速度、
曲线的切线和极值等问题产生
了导数和微分,
构成了微积分学的微分学部分;
时由已知速度求路程、
已知切线求曲线以及上述求
面积与体积等问题,
产生了不定积分和定积分,
同
构成了微积分学的积分学部分.
前面已经介绍已知函数求导数的问题,
们要考虑其反问题:
已知导数求其函数,
数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.
现在我
这种由导
问题的提出
我们知道
反之
因此,本章的第一个内容为微分运算的逆运算
原函数与不定积分的概念
定义1
,
则称函数为在区间I上的一个原函数.
例
也是一个原函数
从上述后面两个例子可见:
唯一的.
一个函数的原函数不是
研究原函数必须解决的几个重要问题:
⑴什么条件下,一个函数存在原函数?
⑵如果一个函数存在原函数,那么原函
数是否唯一?
(3)若不唯一它们之间有什么联系?
原函数的概念
一个函数的任意二个原函数之间相差一个常数.
事实上,
则
事实上,
即有
若为在区间上的原函数,
( 为任意常数).
从而也是在区间上的原函数.
设和都是的原函数,
( 为任意常数).
由此知道,
若为在区间上的原函数,
则
函数的全体原函数为
( 为任意常数).
定理1 若函数在区间I 上连续,则在I上存在
原函数.
定理2 设是在区间I上的一个原函数,则
⑴也是的一个原函数,其中C为任意常数;
⑵的任意两个原函数之间,相差一个常数.
以下两个定理为我们作了回答.
原函数的存在性将在该章后面讨论,
定义2 在区间I 上的全体原函数称为在I 上
的不定积分,记作
其中称为积分号, 为被积函数, 为被积表达式,x为积分变量.
由定义2知,
这时又称C为积分常数,
不定积分的概念
注:
由定义知,
求函数的不定积分,
就是求
的全体原函数,
在中,
故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微积分)
运算的逆运算.
积分号表示对函数实行求原函数的运算,
任意常数
积分号
被积函数
被积表达式
积分变量