自动控制原理（华南理工大学）自动控制原理习题.doc

自动控制原理习题及其解答
第一章(略)
第二章
例2-1 弹簧,阻尼器串并联系统如图2-1示,系统为无质量模型,试建立系统的运动方程。
解:(1) 设输入为yr,输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。
(2) 列写原始方程式,由于无质量按受力平衡方程,各处任何时刻,均满足,则对于A点有

其中,Ff为阻尼摩擦力,FK1,FK2为弹性恢复力。
(3) 写中间变量关系式

(4) 消中间变量得

(5) 化标准形

其中:为时间常数,单位[秒]。
为传递函数,无量纲。
例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。
(1) 写出运动方程式
(2) 求取线性化方程
解:(1)设输入外作用力为零,输出为摆角q ,摆球质量为m。
(2)由牛顿定律写原始方程。
图2-2 单摆运动

其中,l为摆长,lq 为运动弧长,h为空气阻力。
(3)写中间变量关系式

式中,α为空气阻力系数为运动线速度。
(4)消中间变量得运动方程式
(2-1)
此方程为二阶非线性齐次方程。
(5)线性化
由前可知,在q =0的附近,非线性函数sinq ≈q ,故代入式(2-1)可得线性化方程为

例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示,试列出系统运动方程。
图2-3 机械旋转系统
解:(1)设输入量作用力矩Mf,输出为旋转角速度w 。
(2)列写运动方程式

式中, fw为阻尼力矩,其大小与转速成正比。
(3)整理成标准形为

此为一阶线性微分方程,若输出变量改为q,则由于

代入方程得二阶线性微分方程式

例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。
图2-4 倒立摆系统
倒立摆是不稳定的,如果没有适当的控制力作用在它上面,它将随时可能向任何方向倾倒,这里只考虑二维问题,即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。
解:(1) 设输入为作用力u,输出为摆角q 。
(2) 写原始方程式,设摆杆重心A的坐标为(XA,yA)于是
XA=X+lsinq
Xy = lcosq
画出系统隔离体受力图如图2-5所示。
图2-5 隔离体受力图
摆杆围绕重心A点转动方程为:
(2-2)
式中,J为摆杆围绕重心A的转动惯量。
摆杆重心A沿X轴方向运动方程为:
即(2-3)
摆杆重心A沿y轴方向运动方程为:

即
小车沿x轴方向运动方程为:

方程(2-2),方程(2-3)为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sinq 和cosq 项,所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。
(3) 当q 很小时,可对方程组线性化,由sinq ≈q,同理可得到cos≈1则方程式(2-2)式(2-3)可用线性化方程表示为:

用的算子符号将以上方程组写成代数形式,消掉中间变量V、H、X得

将微分算子还原后得

此为二阶线性化偏量微分方程。
例2-5 RC无源网络电路图如图2-6所示,试采用复数阻抗法画出系统结构图,并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。
图2-6 RC无源网络
解:在线性电路的计算中,引入了复阻抗的概念,则电压、电流、复阻抗之间的关系,满足广义的欧姆定律。即:

如果二端元件是电阻R、电容C或电感L,则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。
用复阻抗写电路方程式:

将以上四式用方框图表示,并相互连接即得RC网络结构图,见图2-6(a)。
用结构图化简法求传递函数的过程见图2-6(c)、(d)、(e)。
(a)
(b)
(c)
(d)
图2-6 RC无源网络结构图
用梅逊公式直接由图2-6(b) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。
独立回路有三个:
回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则

由上式可写出特征式为:

通向前路只有一条
由于G1与所有回路L1,L2, L3都有公共支路,属于相互有接触,则余子式为
Δ1=1
代入梅逊公式得传递函数
图2-8 PI调节器
例2-6 有源网络如图2-7所示,试用复阻抗法求网络传递函数,并根据求得的结果,直接用于图2-8所示PI调节器,写出传递函数。
图2-7 有源网络
解:图2-7中Zi和 Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗,假设A点为虚地,即UA≈0,运算放大器输入阻抗很大,可略去输入电流,于是:I1 = I2
则有:
故传递函数为
(2-4)
对于由运算放大器构成的调节器,式(2-4)可看作计算传递函数的一般公式,对于图2-8所示PI调节器,有
故
例2-