绵阳市高中2012级第三次诊断性考试数学(理科)试题.doc

绵阳市高2012级第三次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
BCDBA CACAB AD
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.() 14.±2 16.①④
三、解答题:本大题共6小题,、证明过程或演算步骤.
:(I)由m//n,可得3sinx=-cosx,于是tanx=.
∴. …………………………4分
(II)∵在△ABC中,A+B=-C,于是,
由正弦定理知:,
∴,可解得. ………………………………………………6分
又△ABC为锐角三角形,于是,
∵=(m+n)·n
=(sinx+cosx,2)·(sinx,-1)
=sin2x+sinxcosx-2
=
=,
∴.……………………10分
由得,
∴ 0<sin2B≤1,得<≤.[来源:学|科|网]
即.………………………………………………12分
:(I)设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai(i=0,1,2),“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj(j=0,1,2),
则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0.
∴ P(A1B0+A2B1+A2B0)[来源:学§科§网]
=P(A1B0)+P(A2B1)+P(A2B0)
=P(A1)·P(B0)+P(A2)·P(B1)+P(A2)·P(B0)
=
.
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为.……4分
(II)由题设可知:ξ=0,1,2,3,4.
,
,
,
,
.
∴的分布列为:
0
1
2
3
4
P
……………………………………………………………………10分
∴ E=. ………………………12分
:(I)证明:连结AD1交A1D于F,则F为中点,连结EF,如图.
∵ E为中点,
∴ EF//BD1.
又EF面A1DE,BD1面A1DE,
∴ BD1//面A1DE.……………………………………………………………3分
(II)在Rt△ABD中,AB=2AD=2,可得BD=,
∴,,
设A1到面BDD1的距离为d,则由有
,
即,解得,
即A1到面BDD1的距离为.……………………………………………8分
A1
D1
A
D
E
B
C
F
H
(III)连结EC.
由,有,,
过D作DH⊥EC于H,连结D1H,
由已知面AA1D1D⊥面ABCD且DD1⊥AD,
∴DD1⊥面ABCD.
由三垂线定理知:D1H⊥EC,
∴∠DHD1为D1-EC-D的平面角.
Rt△EBC中,由,BC=1,得.
又DH·EC=DC·BC,代入解得,
∴在Rt△DHD1中,.
∴,即二面角D1-EC-D的大小为.…………12分
A1
D1
A
D
E
B
C
F
y
x
z
解法二:
(I)同解法一.………………3分
(II)由面ABCD⊥面ADD1A,且四边形AA1D1D为正方形,四边形ABCD为矩形,可得D1D⊥AD,D1D⊥DC,DC⊥DA.
于是以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由AB=2AD=2知:D(0,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),
∴=(1,2,0),=(0,0,1),=(0,2,-1).
设面BDD1的一个法向量为n1,
则即∴.
∴点A1到面BDD1的距离. …………………………8分
(III)由(II)及题意知:E(1,,0),C(0,2,0),,.
设面D1EC的一个法向量为,
则即可得.
又易知面DEC的一个法向量是(0,0,1),
设D1-EC-D的大小为θ,则,
得.
即D1-EC-D的大小为.………………………………………12分
:(I),
由题,,得-a+b=1.
∴ b=a+1.
又切点(1,a+c)在直线x-y-2=0上,得1-(a+c)-2=0,
解得c=-a-1. ………………………………………………………………4分
(II)g(x)
 ,
∴,
令,得x=1,或x=a.………………………………………………8分
i)当a≥1时,
由0<x≤1知,≥0,
∴ g(x)在(0,1]上递增.
∴ g(x)max=g(1)=2.
于是a≥1符合条件. ………………………………………………………10分
ii)当0<a<1时,
当0<x<a时,;a<x<1时,(x)<0,
∴ g(x)