第4章线性方程组
齐次线性方程组
齐次线性方程组解的结构
若为()的一个
解,则称
为方程组()的解向量,也是()的解.
齐次线性方程组的解具有以下两个重要性质.
性质1 若是()的解, 为任意实数,则
也是()的解.
性质2 若是()的解,则也是()的解.
性质2 若
是()的解,则
也是()的解.
若将齐次线性方程组()的全体解向量所组
成的集合记做,则性质1、2即为
(1)若, ,则;
(2)若,则.
同时说明集合对向量的线性运算是封闭的,
所以集合是一个向量空间,称为齐次线性方
程组()的解空间.
定义1 方程组()的解空间的一个基称为
()的一个基础解系.
与定义1等价之定义为:齐次线性方程组()
的解集合的一个极大线性无关组称为方程组
()的一个基础解系.
定理2 若齐次线性方程组()的系数矩阵的
秩小于未知数个数,即,则方程组
()必存在含有个解向量
的一个基础解系,且其通解(全部解)可表示为
其解空间可表示为
由此可见,方程组()有非零解
当时,()只有零解,此时解空间只
含一个零向量,为维向量空间,没有基础解系.
.
例1 求齐次线性方程组
的一个基础解系和通解.
解将系数矩阵施行初等行变换,化其为行最简形矩阵
,基础解系由两个线性无关的解构
即( 为自由未知数)(1)
令,代入(1) ,得
,
从而得到一个基础解系为
故方程组的通解为
例2 求齐次线性方程组
的通解.
解将系数矩阵施行初等行变换,有
,
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