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数学建模基础知识
第一章导论
引例
一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河东渡过河到河西。由于船小,一次只能带一物过河,并且狼与羊,羊与菜不能独处。用数学建模思想给出渡河方法。
分析:用四维0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河西岸的状态(在河东岸则分量取1,否则取0),共有24 =16 种状态。由题设,状态(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)
是不允许的,从而对应状态(1,0,0,1),(1,1,0,0),(1,0,0,0)
也是不允许的。
利用穷举法可得到: (人,狼,羊,菜)
(1)可取状态A共有10个:
(1,1,1,1) (0,0,0,0)
(1,1,1,0) (0,1,0,0)
(1,1,0,1) (0,0,1,0)
(1,0,1,1) (0,1,0,0)
(1,0,1,0) (0,1,0,1)
(2)可取运载B共4个:
(1,1,0,0) (1,0,1,0)
(1,0,0,1) (1,0,0,0)
(3)可取运算:规定A与B相加时对每一分量按二进制法则进(0+0=0,1+0=0+1=1,1+1=0)。
这样,一次渡河就是一个可取状态向量与一个可取运载向量相加,可取状态经过加法运算后仍是可取状态,这种运算称为可取运算。
问题转化为:从初始状态(1,1,1,1)经过多少次可取运算才能转化为状态(0,0,0,0)。
如果一个状态是可取的就打√,否则就打×,虽然可取但已重复就打○,于是问题可用穷举法解答如下:
√
×
×
×
×
×
×
√
×
√
√
○
√
○
×
×
√
×
○
×
○
√
×
×
○
√
×
×
×
○
○
√
√
×
×
○
河西
(1,1,1,1)
(1,0,1,0)
(0,1,0,1)
(0,0,0,0)
河东
(1,1,1,0)
(1,1,0,1)
(1,0,1,1)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)
从(1,1,1,1)开始,沿关联相应顶点,到(0,0,0,0)终止,即为摆渡人的过河方法。由此,就通过数学建模思想(数学模型:图表法)给出摆渡人渡河方法。
数学建模概念
通俗的说,用一定的数学语言、方法(这种数学方法、表述称为数学模型)去近似的刻画该实际问题,这个简历数学模型并得出结果的过程称之为数学建模。
常用的数学模型:初等模型、几何模型、图论模型、微分模型、优化模型、0-1模型、灰色预测模型等。