不等式选讲解读.ppt

不等式选讲教学中的注意点
舒林军
2008年2月
1
我对不等式选讲的内容几点理解
这部分内容对文科生需要详细讲解,难度较大;但对理科生来说只要把证明中的放缩法和柯西不等式、排序不等式、以及贝努利不等式作重点讲即可,其余作为复习。
对该部分内容相对独立,其中柯西不等式、排序不等式是高中奥赛的内容,因此可以提前上。
对该部分内容的难度深度,很难把握,对竞赛辅导的教师都感到这块内容太难,本人认为着重基础,适当扩充,杜绝变为数学竞赛辅导。
2
从二维、三维到n维;从已知到未知,从严密的代数证明到几何模型的结合,从数推广到向量以及复数。
在教学和学习过程中要充分强调不等式的几何背景及其意义,重点在于深刻理解不等式的数学本质,在教学过程中尽量避免过分复杂化和技巧化的代数恒等变形,以免冲淡主题
3
提纲
第一讲不等式与绝对值不等式
不等式基本形式
基本不等式
绝对值不等式
第二讲证明不等式的基本方法
比较法
综合法与分析法
反证法与放缩法
4
提纲
第三讲柯西不等式与排序不等式
二维形式的柯西不等式
一般形式的柯西不等式
排序不等式
第四讲数学归纳法证明不等式
数学归纳法
数学归纳法证明不等式
5
第一讲不等式与绝对值不等式
不等式基本形式
基本不等式
绝对值不等式
6
不等式基本形式
共六条性质,给其命名为:
第一条:反身性
第二条:传递性
第三条:可加性
第四条:可乘性
第五条:正数可乘方性
第六条:正数可开方性
推论:同相可加性
两边同乘以一个负数,不等号变号;
在两边同乘以一个字母时,一定要进行讨论;
推论:正数同向可乘性
7
基本不等式
两个基本不等式,
它们成立的条件是不同的:前者是两个实数,后者是两个正数
等号成立的条件是相同的
在推导过程中,要与几何结合,让学生多体会数形结合的思想的渗透。
作用
(1)用于证明
(2)用于比较大小
(3)求最值
在求最值时,一定要把握好“一定二正三相等”
8
基本不等式(续)
若a,b为正数,则称:
扩充:
则有:“调几算平”
9
基本不等式(续)
推广到三个正数的算术几何均值不等式
推广前,先证明:
在证明过程中,要作分解因式,难度大,先介绍立方和(差),几二项式定理。
进一步推广到n个正数的算术几何均值不等式,不做证明。
在求最值时,拆,拼,凑需要一定技巧。需要多练,才能掌握,有时,也可以求导方法求最值,可结合数学
10