二重积分的计算法.ppt

*三、二重积分的换元法
第二节
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
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二重积分的计算法
第九章
一、利用直角坐标计算二重积分
,是相当困难的,甚至是不可能的.
下面我们根据二重积分的几何意义—曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.
这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分,即二次积分.
x
A(x)
dV=A(x)dx
x
已知平行截面面积为 A(x)的立体
.
a
V
复行截面面积为已知的立体的体积
b
二重积分的计算(D是矩形区域)
y
0
x
z
y
a
b
c
d
D
D是矩形区域[a,b ; c,d]
z=f (x,y)
y
0
x
z
y
a
b
c
d
D
D是矩形区域
z=f (x,y)
问题:Q( y)是什么图形?
是曲边梯形。
.
二重积分的计算(D是矩形区域)
.
0
x
z
y
y
a
b
c
d
D
.
Q( y ) =
同理,也可以先对 y 积分
.
z=f (x,y)
D是矩形区域[a,b ; c,d]
二重积分的计算(D是矩形区域)
0
x
z
y
c
d
D
z=f (x,y)
x=(y)
x=(y)
y
D: (y)  x (y)
c  y  d
二重积分的计算(D是曲线梯形区域)
0
x
z
y
c
d
D
z=f (x,y)
x=(y)
x=(y)
.
y
问题:Q( y)是什么图形?
D: (y)  x (y)
c  y  d
也是曲边梯形!
.
Q( y )
I =
二重积分的计算(D是曲线梯形区域)
.
0
x
z
y
x=(y)
y
c
d
D
.
D: (y)  x (y)
c  y  d
.
Q( y ) =
二重积分的计算(D是曲线梯形区域)
x=(y)
z=f (x,y)
如果积分区域为:
其中函数、在区间上连续.
直角坐标系下计算二重积分
[X-型]