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用待定系数法求三角函数最值

用均值不等式求三角函数最值时,“各数相等”及“和(或积)为定值”是两个需要刻意凑出的条件,从何处入手,怎样拆项,如何凑出定值且使等号成立,又能使解答过程简捷明快,这确实既“活”又“巧”,对此问题,现利用待定系数法探析。
例1. 设x∈(0,π),求函数的最小值。
分析:拿到此题,很容易想到下面的解法。
因为 sinx>0,
所以。
故ymin=2。
显然,这种解法是错误的!错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由得sinx=2,这样的x不存在,故为错解。
事实上,此题是可以用均值不等式来解答的,但需要拆项,如何拆,既能使其积为定值,又能使“=”号成立,这确实是一个难点,笔者认为,待定系数法就能很好地解决这个问题,为此,先引入一个待定系数λ(0<λ<2,使。由均值不等式及正弦函数的有界性,得。
当且仅当且sinx=1,即λ=时,上式等号成立。将λ=代入,得ymin=。
另解:y=。
令sinx=t(0<t≤1=,易证在(0,1]上单调递减,所以。
例2. 当x∈(0,)时,求函数的最小值。
分析:因为x∈(0,),所以sinx>0,cosx>0,引入大于零的待定系数k,则函数
可变形为+kcos2x-k≥3+-k=12,等号成立当且仅当,时成立。由sin2x+cos2x=1,。得,即k2=64,又k>0,所以k=8。故函数y的最小值为,此时x=。
例3. 设x∈(0,),求函数y=sinx+的最小值。
分析:因为x∈(0,),所以sinx>0,y=sinx+可变形为。由均值不等式得。但,故上式不能取等号。下面引入待定系数k进行配凑解之。
解:因为x∈(0,),
所以sinx>0。
因为
故
≥,
等号当且仅当且sinx=1,即k=时等号同时成立。从而,故函数y=sinx+的最小值为2。
例4. 求函数y=sin2x·cos2x+的最小值。
分析:易得,由均值不等式得。
但,故上式不能取等号。于是引入待定正实数λ,μ,且λ+μ=4,则有
=
≥
≥。
当且仅当且sin22x=1时等号同时成立,此时,所以当sin22x=1时,y有最小值为。