第9 瞎子开门 伸手摸缝.doc.doc

第9 瞎子开门伸手摸缝
计名释义
命题人本来为解题人设计了“题门”,“瞎子”来讲,他不是在看,,他没有能力关心整个大门,,他便将手伸到门的后面,轻轻地把门闩拉掉,题门也就随之开了.
●典例示范
[例题](2005年鄂卷第22题)
已知不等式,其中n为大于2的整数,表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正,且满足,
(Ⅰ)证明:,;
(Ⅱ)猜测数列{}是否有极限?如果有,写出极限的值;
(Ⅲ)试确定一个正整数N,使得当n>N时,对任意b>0,都有
[分析] 此题有3扇门,即题问(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ).用手去摸,发现(Ⅱ)是个门缝,因为(Ⅱ)最轻便:一是“猜”,二是“写出”(不要求说道理).
于是,可以把手伸到(Ⅰ)的后面,把(Ⅱ)当作门闩抽掉.
[解Ⅱ] 因为0 < an < 而后者的极限是0,所以an的极限是0.
[插语] 解(Ⅱ)之时,承认并利用了(Ⅰ)的结果.
[评说] 这么难的压轴题,(Ⅰ),而(Ⅱ)的分数却已经拿到手了.
拿下(Ⅱ)之后,可以直抓后面的(Ⅲ).既然an→0,那么要它an<,,仍然可以把(Ⅰ)的结果当作已知.
[解Ⅲ] (放大为了化简)
令,
故取N=1024,可使当n>N时,都有
[插语] (Ⅱ),(Ⅲ)已破,题门大开,回师攻(Ⅰ)形势更好.
[解Ⅰ] 问题简化为
已知:①②
求证:③
[插语] 先抓住求证式③,其右边的分母中有变量,顺藤摸瓜,找到已知式①中的,不过它却在“分子”,快摸到问题(Ⅰ)的“门闩”.
[续解] 式③变为
得式④.
[插语] 式④即为题(Ⅰ)的门闩.
以下用式④与式②连接,从式②中变出.
[续解] 由式②得
得式⑤
依次令n=2,3,4,……得
…
两边相加得⑤
代式①于⑤
④.
从而证得式③:,即问题(Ⅰ)得证.
[插语] 变③为④,①、②为⑤,用的是综合法.
条件(①,②)不等式(③)的证明,经常利用“分析—综合法”进行两边夹攻.
[评论] 本题是一道难度很高的压轴大题,“伸手摸缝”的策略,改变了命题人原来设定的解题顺序,即从(Ⅰ)到(Ⅱ)、再到(Ⅲ)(Ⅱ)成为该大题的“题缝”.
对于最难的题(Ⅰ),仍然采用了中间突破的办法,成功的关键也是从中找到了题(Ⅰ)的题缝:,实际上,不等式的证明中,分析法与综合法的接头处,正是问题的题缝.
●对应训练
对以上例题第(Ⅰ)问改为