计算方法 4 解线性方程组的直接法.ppt

准确,可靠,理论上得到的解
是精确的
第四章解线性代数方程组的直接法
背景:在自然科学和工程技术中,很多问题往往最终都归结为解线性代数方程组,例如:结构分析、网络分析、数据分析、最优化和微分方程组数值解等,常遇到线性方程组的求解问题. 记为矩阵形式:
解线性方程组的数值方法大体上可分为两类:直接法和迭代法
①直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得精确解;
②迭代法是从一个初始向量出发按照一定的计算格式逐次逼近精确解.
在线性代数课程中,给出了求解线性方程组的一种直接法--- 克莱姆(Cramer,瑞典数学家)
一、直接法
速度快,但有误差
或者:
根据Cramer法则:当且仅当
时,有唯一解,而且解为:
如取n=100,1033次/,该方法对高阶方程组计算量太大,不是一种实用的算法.
实用的直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss,德国)消去法(一般适用于低阶稠密矩阵方程组求解),其它很多算法都是它的变形和应用.
为了给出高斯消去法公式,我们回顾一些知识:
需计算n+1个行列式,而每个行列式的计算需(n-1)*n!
 1. 下面三种线性方程组的解可直接求出:
①
②
③
求解次序
第i行
第i行
0
0
对方程组,作如下的变换,解不变!
①交换两个方程的次序.
②一个方程的两边同时乘以一个非0的数.
③一个方程的两边同时乘以一个非0数,加到另一个方程.
因此,相应地对增广矩阵(A,b),作如下的变换,解不变!
①交换矩阵的两行.
②某一行乘以一个非0的数.
③某一行乘以一个非0数,加到另一行.
 2. 初等变换矩阵的性质:
的思想
使用初等行变换,将Ax=b转化为同解的上三角方程组,再回代求解.
=
=
Gauss消元法
0
Gauss消元法的求解过程可分为两个环节:消元过程和回代过程.
消元过程是将系数矩阵
A化为上三角矩阵的过程
回代过程是
求解上三角方程
组的过程
下面主要讨论消元过程:实质上是将方程组的增广矩阵通过
初等行变换化成三角方程组的增广矩阵的过程.
矩阵形式为:
第1行
称为顺序
Gauss消去法
矩阵形式:
第2行
矩阵形式
第k行
类似地进行下去,经n-1步消元后便得到
记
则上式可以写成:
或者
上三角矩阵!
可以证明:
☺
要使Gauss消去法能够进行下去,必须有约化后的主对角元素非零。
问:矩阵A在什么条件下能够保证此条件成立?
定理
下面,我们对一些特殊的矩阵,提出一些特定的分解法
在实际计算中,用Gauss消去法解方程组,即使不为零,但其绝对值很小,也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差扩散,从而会严重地损失精度!
不能保证计算过程是数值稳定的!
注: