【高中数学课件】不等式证明方法ppt课件.ppt

不等式的证明
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【例1】已知a>0,b>0,求证:a3+b3≥a2b+ab2.(课本P12例3)
即a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a3- a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)+b2(b-a)
∵a>0,b>0,
∴( a-b)2(a+b)≥0.
故(a3+b3)-(a2b+ab2)≥0,
∴a+b>0,而( a-b)2≥0.
=( a-b)2(a+b).
=(a-b)( a2-b2)
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故a3+b3≥a2b+ab2.
证明二:比较法(作商)
∵a2+b2≥2ab,
∴
又a>0,b>0,所以ab>0,
所以有a3+b3≥a2b+ab2.
证明三:分析法
欲证a3+b3≥a2b+ab2,
只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).
由于a>0,b>0,
所以a+b>0,
故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。
即证明a2+b2≥2ab.
而a2+b2≥2ab 显然是成立的
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即a3+b3≥a2b+ab2.
证明四:综合法
∵a2+b2≥2ab,
∴a2+b2-ab≥ab.
又∵a>0,b>0,
∴a+b>0,
故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).
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【例2】已知a>0,b>0,求证:
证明一:比较法(作差)
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证明二:比较法(作商)
而a>0,b>0,所以a+b>0.
证明四:综合法
a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn,
≥a1bn+a2bn-1+…+ an-1b2+anb1.
≥a1b2+a2b3+…+ an-1bn+anb1
则 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn
【例3】求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
证明一:(比较法)
∵(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)
∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
=2abcd- a2d2-b2c2
=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)
=-(ad-bc)2
≤0.