李雅普诺夫稳定性分析报告.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..word控制系统的李雅普诺夫稳定性分析内容提要稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的稳定性,就是系统在受到小的外界扰动后,被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。显然,稳定性是系统的一个动态属性。在控制理论和控制工程中,无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论,都不可防止的要遇到系统稳定性问题。稳定性问题一直是一个最根本的和最重要的问题。随着控制理论与控制工程所涉与的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系统,稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。直到目前,虽然有许多判据可应用于线性时不变系统或其它各自相应类型的问题中,以判断系统稳定情况,但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法,如此是俄国数学家李雅普诺夫(Lyaponov)在19世纪所提出的方法。这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。李雅普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要根底。)V(x)?2x2?3x2?x2?2xx?2xx12312132)V(x)?8x2?2x2?x2?8xx?2xx?2xx1231213233)V(x)?x2?x2?2xx?xx1312234)V(x)?10x2?4x2?x2?2xx?2xx?4xx1231223135)V(x)?x2?3x2?11x2?2xx?4xx?2xx123122313解?2?10???1)V(x)?xTAx?xT?131x,因为顺序主子式???011???2?102?12?0,?5?0,?111?3?0?13011所以A?0,V(x)为正定函数。-79-/14:..word?8?41???2)V(x)?xTAx?xT?42?1x,因为主子式???1?11???8?4812?18,2,1?0,?0,?7?0,?1?0,?4211?118?41?42?1?16?4?4?2?16?8?01?11所以A不定,V(x)为不定函数。?1?10???3)V(x)?xTAx?xT?101x,因为顺序主子式?2??011??2?1?101?112?0,??1?0,?101?0?1??0?10240112所以A为不定矩阵,V(x)为不定函数。?101?2???4)V(x)?xTAx?xT14?1x,因为顺序主子式????2?11???101010110?0,?39?0,14?1?40?1?10?29?0140?11所以A?0,V(x)为正定函数。?1?11???5)V(x)?xTAx?xT?132x,因为顺序主子式???1211???1?111?11?0,?2?0,?132?33?2?2?3?11?4?11?0?131211所以A?0,V(x)为正定函数。□-80-/14:..。x??x?x?x(x2?x2)112112x??x?x?x(x2?x2)212212解??x?x?x(x2?x2)?0解方程组?12112得三个孤立平衡点〔0,0〕,〔1,-1〕和〔-1,?x?x?x(x2?x2)?0?122121〕。??12?在〔0,0〕处将系统近似线性化,得x???x,由于原系统为定常系统,且矩阵??1?1???12?的特征根???1?2i均具有负实部,于是根据李雅普诺夫定理可知系统在原点????1?1?〔0,0〕附近一致渐近稳定。?3?1??3?1?在〔1,-1〕和〔-1,1〕处将系统近似线性化,得x?x,由于矩阵??????33???33?的特征根??3?3?0,根据李雅普诺夫定理可知系统在点〔1,-1〕附近不稳定。?3?1?在〔-1,1〕处将系统近似线性化,得x?x,由于原系统为定常系统,且????33??3?1?矩阵的特征根??3?3?0,根据李雅普诺夫定理可知系统在点〔1,-1〕和????33?点〔-1,1〕附近不稳定。该题求解时往往容易忽略平衡点〔1,-1〕和〔-1,1〕。□。??11?x???x?2?3?解由于题中未限定利用哪一种方法,且系统为线性定常系统,所以利用第一方法比拟??11?适宜。经计算知矩阵的特征根为?2?3?0,所以系统在原点是大X围渐近稳???2?3?定的。-81-/14:..word对于线性系统关于稳定性的结果是大X围的全局性结果。?010???x(k?1)?001x(k)m>0???0m20???试求在平衡状态系统渐近稳定的m值X围。解令Q?I,由方程GTPG?P??Q得?000????PPP?010?PPP??100???111213??111213m???????10?PPP?001??PPP??0102?122223??122223????????PPP?m?PPP??001??010????00?????132333?2?132333解此方程得???100???8?m2P??00??4?m2???12?00??4?m2?假如要P?0应有0?m?2。□?aa?x?1112x???aa?2122在平衡状态x?0为大X围渐近稳定的条件。解用李雅普诺夫第一方法。首先求系统矩阵的特征方程??a?a?I?A?1112??2(a?a)??aa?aa?0?a??a11221**********由韦达定理,两个特征值同时具有负实部的充要条件为a?a?0,aa?aa。□-82-/14:..word?10?x???x??1?1??1?试计算相轨迹从x(0)?点出发,到达x2?x2?()2区域内所需要的时间。??12?0?解由于?(A)?1,?(A)??1,该系统发散,x?x2?x2单调增加。注意到1212x2(0)?x2(0)?1?,所以此题无解。□?01?x???xt?01,???10??t?1?判定其原点x?0是否是大X围渐近稳定。e1解取V(x,t)?(x2?(t?1)2),如此2121V(x,t)?xx?x2?(t?1)xx11222211?xx?x2?(t?1)x(?x?10x)1222t?11219??(10t?)x2?022因为limV(x)??,所以系统在原点处大X围渐近稳定。□x???0100??x?1?????b010xx?Ax??4??2?b?0i?1,2,3,4,,?0?b01??x?i?3??3??00?b?b??x?214应用李雅普诺夫的稳定判据,试以b,i?1,2,3,4表示这个系统的平衡点x?0渐近稳定的i充要条件。解在李雅普诺夫矩阵方程式A?V?VA??W中,令W为-83-/14:..word?0000???0000W????0000???0002b2??1显然,W是半正定矩阵。求矩阵方程式的解V,V是对称矩阵。?vvvv?11121314??vvvvV??21222324??vvvv??31323334??vvvv?41424344将方程左边的i行j列元素记成(i,j)元素,可求得下面的一系列等式:(1,1)元素??2bv?0412(1,2)元素?v?bv?bv?011313422(1,3)元素?v?bv?bv?012214423(1,4)元素?v?bv?bv?013114424(2,2)元素?2v?2bv?012223(2,3)元素?v?v?bv?bv?01322224333(2,4)元素?v?v?bv?bv?01423124334(3,3)元素?2v?2bv?023234(3,4)元素?v?v?bv?bv?02433134244(4,4)元素?2v?2bv??2b2341441由对于(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)元素的等式和b?0,i?1,2,3,4有iv?0,v?0,v?0,v?b122334441由对于(1,3)、(2,4)、(1,4)元素的等式,有v?0,v?0,v?0142413由(1,2)、(2,3)、(3,4)元素,有v?bv,v?bv,v?bv114222233333244因此-84-/14:..wordv?b?b?b?b,v?b?b?b**********v?b?b,v?b3321441即,?b?b?b?b000?4321??0b?b?b00V??321??00b?b0?21???000b?1为对角线矩阵。因为W为半正定阵,所以要检查xTWx?0在原点x?0以外的x是否满足系统状态方程。由于满足xTWx?0的x同时满足x?0,而x?0时,状态方程的解为44x?x?x?x?0,所以满足xTWx?0的状态方程的解只有x?0。3214由李雅普诺夫的稳定判据,x?0是渐近稳定的充要条件是对角矩阵V为正定阵。因此b?0,b?0,b?0,b?0是求的充要条件。□(Volterra)方程式dx1?ax??xxdt112dx2??x??xxdt212式中,x、x分别是生物个体数,?、?、?、?是不为零的实数。关于这个系统,1)试12求平衡点;2)在平衡点的附近线性化,试讨论平衡点的稳定性。解dxdx1)由1?0,2?0,得dtdt??x??xx?x(???x)?0?11212??x??xx?x(???x)?021221同时满足这二式的x、x有两组:x?0、x?0和x???/?、x???/?。即,系121212统的平衡点为:平衡点(a)x?0、x?012平衡点(b)x???/?、x???/?12-85-/14:..word2)分两种情况讨论。①平衡点(a)线性化的微分方程为d?x????0??x???1????1???dtx??0??x?????22其特征方程式是(s??)(s??)?0??0、??0时,平衡点(a)稳定,除此以外不稳定。②平衡点(b)令x???/??x?,x???/??x?,得1122dx???1?(???x)x??(?x)x???x?dt2x???/?11x???/?2?221dx???2?(???x)x??(?x)x???x?dt1x???/?22x???/?1?112因此,在平衡点(b)线性化的微分方程式是d?x???0???/???x???1????1???dtx?????/?0?x?????22其特征方程式为s2????0???0时,特征根是???,为正、负实数,平衡点(b)不稳定。???0时,特征根是?j??,为共轭纯虚数,平衡点(b)的稳定性在这样的线性化X围内不能决定。□;在各平衡点进展线性化,试判别平衡点是否稳定。x?x12x??sinx?x212解由x?0,?sinx?x?0,知系统的平衡点是x?0,??,?2?,?,x?0。212121)在x?0,?2?,?4?,?,x?0处,将系统近似线性化得12d?x???01??x??1??1??????dtx???1?1?x?????22-86-/14:..word其特征多项式是s2?s?1。这是胡尔维茨多项式,因此这些平衡点渐近稳定。2〕在x???,?3?,?,x?012d?x???01??x??1??1??????dtx??1?1?x?????22特征多项式是s2?s?1,这不是胡尔维茨多项式。因此这些平衡点不稳定。□:??11?x????2?3?解令矩阵?pp?P?1112???pp?1222如此由ATP?PA??I得??12??pp??pp???11???10?1112?1112????????????1?3??pp??pp??2?3??0?1?12221222解上述矩阵方程,有?p?7??2p?4p??1?1141112??p?4p?2p?0?p?3??111222228???2p?6p??151222?p??128即得?75??pp?48P?1112??????pp??53?1222?88?因为?75?7?pp?4817P??0det1112?det????0??114pp?53?8??1222?88?可知P是正定的。因此系统在原点处是大X围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数与其沿-87-/14:..word轨迹的导数分别为1V(x)?xTPx?(14x2?10xx?6x2)?081122V(x)??xTQx??xTx??(x2?x2)?012又因为limV(x)??,所以系统在原点处大X围渐近稳定。□x???x12x??x?(1?x)2x2122试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。解易知〔x?0,x?0〕为其唯一的平衡状态。现取V(x)?x2?x2,且有:1212(i)V(x)?x2?x2为正定12??V(x)?V(x)??x?(ii)V(x)?1??????x?x??x?122?x???2x2x?2??12?x?(1?x)2x??122??2x2(1?x)222容易看出,除了两种情况〔a〕x任意,x?012〔b〕x任意,x??112时V(x)?0以外,均有V(x)?0。所以,V(x)为负半定。〔iii〕检查V(?(t;x,0))是否恒等于零。考虑到使得V(x)?0的可能性只有上述两种0情况,所以问题归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。先考察情况〔a〕:?(t;x,0)??x(t),0?Tx(t)?0x(t)?0,如此由于可导出,将此代入系统的方程可得:0122x(t)?x(t)?0120?x(t)??(1?x(t))2x(t)?x(t)??x(t)22211x?0,x?0?(t;x,0)??x(t),0?T这明确,除了点〔〕外,不是系统的受扰运动解。再1201?(t;x,0)??x(t),?1?Tx(t)??1x(t)?0考察情况〔b〕:,如此由可导出,将此代入系0122统的方程可得:-88-/14:..wordx(t)?x(t)??1120?x(t)??(1?x(t))2x(t)?x(t)??x(t)22211?(t;x,0)??x(t),?1?T显然这是一个矛盾的结果,明确也不是系统的受扰运动解。综上分01析可知,V(?(t;x,0))?0。0x?x2?x2??V(x)?x2??〔iv〕当时,显然有。12于是,可以断言,此系统的原点平衡状态是大X围渐近稳定的。□。x??3x?x112x?x?x?x32122解显然x?0是系统的一个平衡点。??31?F(x)???1?1?3x2????62?F(x)?FT(x)?F(x)???2?2?6x2???62由?6?0和?12?36x2?4?0知F(x)?0。由克拉索夫斯基定理可知系2?2?6x222统在原点渐近稳定。又因为limfT(x)f(x)?lim[(?3x2?x)2?(x?x?x3)2]??12122x??x??所以原系统在原点处是大X围渐近稳定的。□。x??2x?xx2?3x211123x??x2x?3x2123x?3x?3x3323解显然x?0是系统的一个平衡点。??22xx6x?123??F(x)??2xx?x2?3?122??03?9x2???3-89-/14:..word??406x?3??F(x)?FT(x)?F(x)?0?2x20?2??6x0?18x2???33?406x2?403由?6?0,?8x2?0,0?2x20??72x2x2?0,知F(x)?0。0?2x2222326x20?18x233由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。又因为limfT(x)f(x)?lim[(?3x2?xx?3x2)2?(?x2x?3x)2?(3x?3x3)2]??x??x??112312323所以原系统在原点处是大X围渐近稳定的。□?ax?x112x?x?x?bx52122的原点为大X围渐近稳定的参数a和b的取值X围。a1解F(x)?1?1?5bx4a1F(x)?FT(x)?F(x)?21?1?5bx4因为系统在原点渐近稳定,所以当x?0,应有F(x)?0,又x?0时,F(x)?0的充要条件为2a?0,?a?5abx4?4?0。于是a应满足a??1。又因为系统大X围渐近稳定,所以当x??时,应有F(x)?0。注意x??,a??1时,F(x)?0的充要条件为b?0;x??a??1时,F(x)?0的充要条件为b?0。综上,a,b的取值X围为:a??1,b?0,或a??1,b?0。□—梯度法构造如下系统的李雅普诺夫函数x??x?2x3x1112x??x22解设V的梯度为-90-/14:..word?ax?ax??V?111122???ax?2?211于是V的导数为V?(?V)Tx?(ax?ax)x?(ax?2x)x1**********试取a?1,a?a?0,如此111221V??x2(1?2x2x)?2x21122?x???V??V当1?2x2x?0时,V?0。注意到?V?1满足旋度方程1?2,所以可??122x?x?x??221知xx112V??xdx??2xdx?x2?x2112221200由这个李亚普诺夫函数可看出,在1?2x2x?0X围内,系统是渐近稳定的。□—梯度法求解如下系统的稳定性条件。x?x12x?a(t)x?a(t)x21122解设V的梯度为?ax??V?111???ax?211于是V的导数为V?(?V)Tx?axx?2xx?(c?ca(t))xx?cx21111221122112222?1?0(c?ca(t))?11221??x???2?xx??1??121x????(c?ca(t))ca(t)2????211221222?????cx?显然,当ca(t)?0,c?ca(t)?0时,V?0。注意到?V?111满足旋度方程??22211221cx??222??V??V1?2?0,于是可知?x?x21-91-/14:..wordxx112V??cxdx??cxdx?(cx2?cx2)?0,c?0,c?01111222221**********由上式可看出,对于给定的c,当a(t)?0时,不难确定c使得c?ca(t)?0。从而1112211221可得系统是渐近稳定的充分条件是a(t)?0,a(t)?0。□12-92-/14