1999试卷及答案.doc

1999年全国高中数学联合竞赛试题
选择题(满分36分,每小题6分)
给定公比为q(q≠1)的等比数列{an},设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6,…, bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…,则数列{bn}( )
(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列
(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列
平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式(| x |-1)2+(| y |-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )
(A)16 (B)17 (C)18 (D)25
若(log23)x-(log53)x≥(log23)-(log53),则( )
(A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤0
给定下列两个关于异面直线的命题:
命题Ⅰ:若平面a上的直线a与平面b上的直线b为异面直线,直线c是a与b的交线,那么,c至多与a,b中的一条相交;
命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。
那么,( )
(A)命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确(B)命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确
(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确
在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场。那么,在上述3名选手之间比赛的场数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C,那么,△ABC是( )
(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)答案不确定
填空题(满分54分,每小题9分)
已知正整数n不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么,这样的n的个数是___________.
已知=arctg,那么,复数的辐角主值是______ ___.
在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0,则=__________.
已知点P在双曲线上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P的横坐标是_____.
已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是__ ____.
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30°, SA=2。那么三棱锥S-ABC的体积为__________.
三、(满分20分)已知当xÎ[0,1]时