2025年人教中考数学圆的综合(大题培优)附详细答案.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..丹青不知老将至,贫贱于我如浮云。——杜甫一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题),AB为⊙O的直径,AC为⊙O的弦,AD平分∠BAC,交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E.(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AE=8,⊙O的半径为5,求DE的长.【答案】(1)直线DE与⊙O相切(2)4【解析】试题分析:(1)连接OD,∵AD平分∠BAC,∴?EAD=?OAD,∵OA=OD,∴?ODA=?OAD,∴?ODA=?EAD,∴EA∥OD,∵DE⊥EA,∴DE⊥OD,又∵点D在⊙O上,∴直线DE与⊙O相切(2)如图1,作DF⊥AB,垂足为F,∴?DFA=?DEA=90?,∵?EAD=?FAD,AD=AD,∴△EAD≌△FAD,∴AF=AE=8,DF=DE,∵OA=OD=5,∴OF=3,在Rt△DOF中,22,∴AF=AE=8DF=OD?OF=4考点:切线的证明,弦心距和半径、弦长的关系点评:本题难度不大,第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行,,从而推出对应边相等,接着用弦心距和弦长、半径的计算公式,:有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.(1)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,∠DCB﹣∠ADC=∠A,求证:四边形ABCD为圆内接倍角四边形;(2)在(1)的条件下,⊙O半径为5.:..天行健,君子以自强不息。地势坤,君子以厚德载物。——《周易》4①若AD为直径,且sinA=,求BC的长;5②若四边形ABCD中有一个角为60°,且BC=CD,则四边形ABCD的面积是;(3)在(1)的条件下,记AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求证:d2﹣b2=ab+【答案】(1)见解析;(2)①BC=6,②或;(3)见解析44【解析】【分析】(1)先判断出∠ADC=180°﹣2∠∠ABC=2∠A,即可得出结论;(2)①先用锐角三角函数求出BD,进而得出AB,由(1)得出∠ADB=∠BDC,即可得出结论;②分两种情况:利用面积和差即可得出结论;(3)先得出BE=BC=b,DE=DA=b,进而得出CE=d﹣c,再判断出△EBC∽△EDA,即可得出结论.【详解】(1)设∠A=α,则∠DCB=180°﹣α.∵∠DCB﹣∠ADC=∠A,∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α,∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A,∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形;(2)①∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°.在Rt△ABD中,AD=2×5=10,sin∠A=,∴BD=8,根5据勾股定理得:AB=6,设∠A=α,∴∠ADB=90°﹣(1)知,∠ADC=180°﹣2α,∴∠BDC=90°﹣α,∴∠ADB=∠BDC,∴BC=AB=6;②若∠ADC=60°时.∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形,∴∠BCD=120°或∠BAD=30°.Ⅰ、当∠BCD=120°时,如图3,连接OA,OB,OC,OD.:..操千曲尔后晓声,观千剑尔后识器。——刘勰1∵BC=CD,∴∠BOC=∠COD,∴∠OCD=∠OCB=∠BCD=60°,∴∠CDO=60°,∴AD是⊙O2的直径,(为了说明AD是直径,点O没有画在AD上)∴∠ADC+∠BCD=180°,∴BC∥AD,∴AB=CD.∵BC=CD,∴AB=BC=CD,∴△OAB,△BOC,△COD是全等的等边三角形,∴S四边形3753=3S=3××52=.ABCD△AOB44Ⅱ、当∠BAD=30°时,如图4,连接OA,OB,OC,OD.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°.1∵BC=CD,∴∠BOC=∠COD,∴∠BCO=∠DCO=∠BCD=75°,∴∠BOC=∠DOC=30°,2∴∠OBA=45°,∴∠AOB=90°.1连接AC,∴∠DAC=∠BAD=15°.2∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°,∴∠DAC=∠ADO,∴OD∥AC,∴S=S.△OAD△OCD过点C作CH⊥△OCH中,CH=OC=,∴S=S+S+S﹣四边形ABCD△COD△BOC△AOB2215175S=S+S=?×5+×5×5=.△AOD△BOC△AOB222475375故答案为:或;44(3)延长DC,∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠BCE=∠A=∠∵∠ABC=∠BCE+∠A,∴∠E=∠BCE=∠A,∴BE=BC=b,DE=DA=b,∴CE=d﹣?cb∵∠BCE=∠A,∠E=∠E,∴△EBC∽△EDA,∴?,∴?,∴d2﹣AEADa?bdb2=ab+cd.:..穷则独善其身,达则兼善天下。——《孟子》【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了圆的内接四边形的性质,新定义,相似三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,,将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB,点A的运动轨迹为AB,P是半径OB上一动点,Q是AB上的一动点,:∠POQ=________时,PQ有最大值,最大值为________;思考:(1)如图2,若P是OB中点,且QP⊥OB于点P,求BQ的长;(2)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠,使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上,求阴影部分面积;探究:如图4,将扇形OAB沿PQ折叠,使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切,切点为C,若OP=6,【答案】发现:90°,102;思考:(1)??;(2)25π?1002+100;(3)点O3到折痕PQ的距离为30.【解析】分析:发现:先判断出当PQ取最大时,点Q与点A重合,点P与点B重合,即可得出结论;思考:(1)先判断出∠POQ=60°,最后用弧长用弧长公式即可得出结论;(2)先在Rt△B'OP中,OP2+(102?10)2=(10-OP)2,解得OP=102?10,:先找点O关于PQ的对称点O′,连接OO′、O′B、O′C、O′P,证明四边形OCO′B是矩1形,由勾股定理求O′B,从而求出OO′的长,则OM=OO′=:发现:∵P是半径OB上一动点,Q是AB上的一动点,∴当PQ取最大时,点Q与点A重合,点P与点B重合,:..志不强者智不达,言不信者行不果。——墨翟此时,∠POQ=90°,PQ=OA2?OB2=102;思考:(1)如图,连接OQ,∵点P是OB的中点,11∴OP=OB=∵QP⊥OB,∴∠OPQ=90°OP1在Rt△OPQ中,cos∠QOP=?,OQ2∴∠QOP=60°,60??1010∴l=??;BQ1803(2)由折叠的性质可得,BP=B′P,AB′=AB=102,在Rt△B'OP中,OP2+(102?10)2=(10-OP)2解得OP=102?10,90??1021S=S-2S=?2??10?(102?10)阴影扇形AOB△AOP3602=25π?1002+100;探究:如图2,找点O关于PQ的对称点O′,连接OO′、O′B、O′C、O′P,则OM=O′M,OO′⊥PQ,O′P=OP=3,点O′是B?Q所在圆的圆心,∴O′C=OB=10,∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点,∴O′C⊥AO,∴O′C∥OB,∴四边形OCO′B是矩形,在Rt△O′BP中,O′B=62?42?25,:..吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》在Rt△OBO′K,OO′=102?(25)2=230,11∴OM=OO′=×230=30,:本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定,熟练掌握弧长公式n?Rl=(n为圆心角度数,R为圆半径),明确过圆的切线垂直于过切点的半径,这是常180考的性质;.(8分)已知AB为⊙O的直径,OC⊥AB,弦DC与OB交于点F,在直线AB上有一点E,连接ED,且有ED=EF.(1)如图①,求证:ED为⊙O的切线;(2)如图②,直线ED与切线AG相交于G,且OF=2,⊙O的半径为6,求AG的长.【答案】(1)见解析;(2)12【解析】试题分析:(1)连接OD,由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD,由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO;由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF,结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°,即∠EDO=90°,由此证出ED为⊙O的切线;(2)连接OD,过点D作DM⊥BA于点M,结合(1)的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度,结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度,根据切线的性质可知GA⊥EA,从而得出DM∥GA,根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA,根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析:解:(1)连接OD,∵ED=EF,∴∠EDF=∠EFD,∵∠EFD=∠CFO,∴∠EDF=∠CFO.∵OD=OC,∴∠ODF=∠OCF.∵OC⊥AB,∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°,∴ED为⊙O的切线;(2)连接OD,过点D作DM⊥BA于点M,由(1)可知△EDO为直角三角形,设ED=EF=a,EO=EF+FO=a+2,由勾股定理得,EO2=ED2+DO2,即(a+2)2=a2+62,解得,a=8,ED4OD3即ED=8,EO=10.∵sin∠EOD=?,cos∠EOD=?,EO5OE5424318∴DM=OD?sin∠EOD=6×=,MO=OD?cos∠EOD=6×=,∴EM=EO﹣MO=10﹣55551832=,EA=EO+OA=10+6=:..为天地立心,为生民立命,为往圣继绝学,为万世开太平。——张载DMEM∵GA切⊙O于点A,∴GA⊥EA,∴DM∥GA,∴△EDM∽△EGA,∴?,即GAEA243255,解得GA=12.?GA16点睛:本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质,解题的关键是:(1)通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°;(2),AD是△ABC的角平分线,以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F,已知EF∥BC.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若已知AE=9,CF=4,求DE长;(3)在(2)的条件下,若∠BAC=60°,求tan∠?67【答案】(1)证明见解析(2)DE=6(3)5【解析】试题分析:(1)连接OD,由角平分线的定义得到∠1=∠2,得到DE?DF,根据垂径定理得到OD⊥EF,根据平行线的性质得到OD⊥BC,于是得到结论;(2)连接DE,由DE?DF,得到DE=DF,根据平行线的性质得到∠3=∠4,等量代换得到∠1=∠4,根据相似三角形的性质即可得到结论;(3)过F作FH⊥BC于H,由已知条件得到∠1=∠2=∠3=∠4=30°,解直角三角形得到:..丹青不知老将至,贫贱于我如浮云。——杜甫11FH=DF=×6=3,DH=33,CH=CF2?HF2?7,根据三角函数的定义得到22HF37tan∠AFE=tan∠C=?;:(1)连接OD,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2,∴DE?DF,∴OD⊥EF,∵EF∥BC,∴OD⊥BC,∴BC是⊙O的切线;(2)连接DE,∵DE?DF,∴DE=DF,∵EF∥BC,∴∠3=∠4,∵∠1=∠3,∴∠1=∠4,∵∠DFC=∠AED,∴△AED∽△DFC,AEDE9DE∴?,即?,DFCFDE4∴DE2=36,∴DE=6;(3)过F作FH⊥BC于H,∵∠BAC=60°,∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,11∴FH=DF=?6=3,DH=33,22∴CH=CF2?HF2?7,∵EF∥BC,∴∠C=∠AFE,HF37∴tan∠AFE=tan∠C=?;CH7∵∠4=∠2.∠C=∠C,∴△ADC∽△DFC,:..好学近乎知,力行近乎仁,知耻近乎勇。——《中庸》ADCD∴?,DFCF∵∠5=∠5,∠3=∠2,∴△ADF∽△FDG,ADDF∴?,DFDGCDDF33?76∴?,即?,CFDG4DG183?67∴DG=.5点睛:本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质,,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足若?,连DF3接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.(1)求证:△ADF∽△AED;(2)求FG的长;(3)求tan∠【答案】(1)证明见解析;(2)FG=2;(3).4【解析】分析:(1)由AB是O的直径,弦CD⊥AB,根据垂径定理可得:弧AD=弧AC,DG=CG,CF1继而证得△ADF∽△AED;(2)由?,CF=2,可求得DF的长,继而求得CG=DG=4,FD3则可求得FG=2;(3)由勾股定理可求得AG的长,即可求得tan∠ADF的值,继而求得:..乐民之乐者,民亦乐其乐;忧民之忧者,民亦忧其忧。——《孟子》5tan∠E=.4本题解析:①∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∴DG=CG,∴AD?AC,∠ADF=∠AED,∵∠FAD=∠DAE(公共角),∴△ADF∽△AED;CF1②∵?,CF=2,∴FD=6,∴CD=DF+CF=8,FD3∴CG=DG=4,∴FG=CG-CF=2;③∵AF=3,FG=2,∴AG=AF2?FG2?5,点睛:本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点,考查内容较多,综合性较强,难度适中,,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过O点作OF⊥AB交⊙O于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点,连接CG(1)判断CG与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求证:2OB2=BC?BF;(3)如图2,当∠DCE=2∠F,CE=3,DG=,求DE的长.【答案】(1)CG与⊙O相切,理由见解析;(2)见解析;(3)DE=2【解析】【分析】(1)连接CE,由AB是直径知△ECF是直角三角形,结合G为EF中点知∠AEO=∠GEC=∠GCE,再由OA=OC知∠OCA=∠OAC,根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE=90°,即OC⊥GC,据此即可得证;BCAB(2)证△ABC∽△FBO得?,结合AB=2BO即可得;BOBF:..博观而约取,厚积而薄发。——苏轼ECED3DE(3)证ECD∽△EGC得?,根据CE=3,DG=?,解之可EGECDE?.【详解】解:(1)CG与⊙O相切,理由如下:如图1,连接CE,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ACF=90°,∵点G是EF的中点,∴GF=GE=GC,∴∠AEO=∠GEC=∠GCE,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵OF⊥AB,∴∠OAC+∠AEO=90°,∴∠OCA+∠GCE=90°,即OC⊥GC,∴CG与⊙O相切;(2)∵∠AOE=∠FCE=90°,∠AEO=∠FEC,∴∠OAE=∠F,又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△FBO,BCAB∴?,即BO?AB=BC?BF,BOBF∵AB=2BO,∴2OB2=BC?BF;(3)由(1)知GC=GE=GF,∴∠F=∠GCF,∴∠EGC=2∠F,又∵∠DCE=2∠F,∴∠EGC=∠DCE,∵∠DEC=∠CEG,:..博观而约取,厚积而薄发。——苏轼∴△ECD∽△EGC,ECED∴?,EGEC∵CE=3,DG=,3DE∴?,DE?,得:DE2+﹣9=0,解得:DE=2或DE=﹣(舍),故DE=2.【点睛】本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、,AB是半圆O的直径,半径OC⊥AB,OB=4,D是OB的中点,点E是弧BC上的动点,连接AE,DE.(1)当点E是弧BC的中点时,求△ADE的面积;3(2)若tan?AED?,求AE的长;2(3)点F是半径OC上一动点,设点E到直线OC的距离为m,当△DEF是等腰直角三角形时,【答案】(1)S?62;(2)AE?5;(3)m?23,m?22,ADE5m?7?1.【解析】【分析】(1)作EH⊥AB,连接OE,EB,设DH=a,则HB=2﹣a,OH=2+a,则EH=OH=2+a,根据Rt△AEB中,EH2=AH?BH,即可求出a的值,即可求出S的值;△ADEAFAD(2)作DF⊥AE,垂足为F,连接BE,设EF=2x,DF=3x,根据DF∥BE故?,EFBD得出AF=6x,再利用Rt△AFD中,AF2+DF2=AD2,即可求出x,进而求出AE的长;(3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论,分别求出m的值.【详解】解:(1)如图,作EH⊥AB,连接OE,EB,设DH=a,则HB=2﹣a,OH=2+a,:..博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。——《礼记》∵点E是弧BC中点,∴∠COE=∠EOH=45°,∴EH=OH=2+a,在Rt△AEB中,EH2=AH?BH,(2+a)2=(6+a)(2﹣a),解得a=?22?2,∴a=22?2,EH=22,1S=ADEH?62;△ADE2(2)如图,作DF⊥AE,垂足为F,连接BE设EF=2x,DF=3x∵DF∥BEAFAD∴?EFBDAF6∴?=32x2∴AF=6x在Rt△AFD中,AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)22解得x=5516AE=8x=55(3)当点D为等腰直角三角形直角顶点时,如图:..志不强者智不达,言不信者行不果。——墨翟设DH=a由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°,∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH,∴∠DFO=∠EDH∴△ODF≌△HED∴OD=EH=2在Rt△ABE中,EH2=AH?BH(2)2=(6+a)?(2﹣a)解得a=±23?2m=23当点E为等腰直角三角形直角顶点时,如图同理得△EFG≌△DEH设DH=a,则GE=a,EH=FG=2+a在Rt△ABE中,EH2=AH?BH(2+a)2=(6+a)(2﹣a)解得a=?22?2∴m=22当点F为等腰直角三角形直角顶点时,如图同理得△EFM≌△FDO设OF=a,则ME=a,MF=OD=2∴EH=a+2在Rt△ABE中,EH2=AH?BH(a+2)2=(4+a)?(4﹣a)解得a=±7?1m=7?1【点睛】此题主要考查圆内综合问题,解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.:..志不强者智不达,言不信者行不果。——,在Rt△ABC中,?C?90?,AD平分∠BAC,交BC于点D,点O在AB上,⊙O经过A、D两点,交AC于点E,交AB于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径是2cm,E是弧AD的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)2?【答案】(1)证明见解析(2)?33【解析】【分析】(1)连接OD,只要证明OD∥AC即可解决问题;(2)连接OE,△AOE是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠OAD=∠DAC,∴∠ODA=∠DAC,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC,∴BC是⊙O的切线.(2)连接OE,OE交AD于K.∵,∴OE⊥?DE∵∠OAK=∠EAK,AK=AK,∠AKO=∠AKE=90°,∴△AKO≌△AKE,∴AO=AE=OE,∴△AOE60???2232?是等边三角形,∴∠AOE=60°,∴S=S﹣S???22??△AOE36043【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC交于点D,DE⊥AC,垂足为E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》(2)若∠C=60°,AC=12,求BD的长.(3)若tanC=2,AE=8,【答案】(1)见解析;(2)2π;(3).3【解析】分析:(1)连接OD,根据等腰三角形的性质:等边对等角,得∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,从而得到∠C=∠ODB,根据同位角相等,两直线平行,得到OD∥AC,从而得证OD⊥EF,即EF是⊙O的切线;1(2)根据中点的性质,由AB=AC=12,求得OB=OD=AB=6,进而根据等边三角形的判2定得到△OBD是等边三角形,即∠BOD=600,从而根据弧长公式七届即可;DE(3)连接AD,根据直角三角形的性质,由在Rt△DEC中,tanC??2设CE=x,则CEAEDE=2x,然后由Rt△ADE中,tan?ADE??2,求得DE、CE的长,:(1)连接OD∵AB=AC∴∠ABC=∠C∵OD=OB∴∠ABC=∠ODB∴∠C=∠ODB∴OD∥AC又∵DE⊥AC∴OD⊥DE,即OD⊥EF∴EF是⊙O的切线1(2)∵AB=AC=12∴OB=OD=AB=62由(1)得:∠C=∠ODB=600∴△OBD是等边三角形∴∠BOD=60060??6∴=?2?即的长2?BDBD180:..天将降大任于斯人也,必先苦其心志,劳其筋骨,饿其体肤,空乏其身,行拂乱其所为。——《孟子》(3)连接AD∵DE⊥AC∠DEC=∠DEA=900DE在Rt△DEC中,tanC??2设CE=x,则DE=2xCE∵AB是直径∴∠ADB=∠ADC=900∴∠ADE+∠CDE=900在Rt△DEC中,∠C+∠CDE=900AE∴∠C=∠ADE在Rt△ADE中,tan?ADE??2DE∵AE=8,∴DE=4则CE=2∴AC=AE+CE=10即直径AB=AC=10则OD=OB=5∵OD//AE∴△ODF∽△AEFOFODBF?55∴?即:?AFAEBF?1081010解得:BF=:此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.