2025年微分几何练习题.pdf

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r?r(u,v)则E?ru?ru,F?ru?rv,G?rv?rv是曲面S的第一类基本量。?)dr?rdu?rdv,?r?rd?r?(du:dv)(?u:?v)若与互相垂直。uvuuvvdr??r则cos???0易见ER?2FQ?GD?0?)若ER?2FQ?GD?0dr?r1则cos???0Edu2?2Fdudv?Gdv2?E?u2?2F?v?G?v23答:曲面上曲线?的切向量沿曲线?本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线?是测地??du1?du2线。事实上,设T:ui?ui(s)(i?1,2),则?的切向量为a?r?r1ds2dsdu'du2a1?,a2?,Da1?da1???1aiduj,Da2?da2???2aiduj记dsdsijiji,ji,j???则曲线?的切向量a沿?平行移动?Da?0?Da1?0,Da2?0Daid2ukduiduj??0(i?1,2)????k?0(k?1,2)dsds2ijdsdsi,j:..天将降大任于斯人也,必先苦其心志,劳其筋骨,饿其体肤,空乏其身,行拂乱其所为。——《孟子》??为测地线4见教材38页5见教材41页6见教材93页7证明:k2?k2?k2sin2??k2cos2??k2gndv18证明:u-曲线的方程为dv?0由?sin??0得到sin??0所以??0dsGd?121nE121nG代入刘维尔公式得k???cos???sin??0gds2G2v2E2u因此得到u-曲线是测地线。六综合试题1见教材107页2给出曲面上一条曲率线?,设?上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角。求证?是一条平面曲线.?????:r?r(u,v),?:u?u(s),v?v(s),????r,n?,则证设其中s是的自然参数,记??????dn?r?n?cos?,两边求导,得????n?r?0,ds??????dndr????dn?dr由?为曲率线知dn//dr,即//?a,因此???n?r???kr??0dsdsdsnds若??0,则?为平面曲线.????若n???0,则因?为曲面?上的一条曲率线,故dn????????k?n?k??kn???0所以dn?0,?:F==:已知k??r??0因而?r??0由此得到r??a(常向量)再积分即得r?as?b其中b也是常向量,