2025年微分几何练习题库及答案.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..百川东到海,何时复西归?少壮不努力,老大徒伤悲。——汉乐府-《微积分几何》复习题本科第一部分:练习题库及答案一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长)?(1,1,?1),b?(1,0,?1),则这两个向量的夹角的余弦cos?=?(0,1,?1),b?(1,0,?1),求这两个向量的向量积a?b?(-1,-1,-1).(1,1,1)且与向量a?(1,0,?1)垂直的平面方程为*-Z=0x?1yz??:x?y?z?0与?:x?y?2z?1的交线的对称式方程为??123?1?[(3t2?1)i?t3j?k]?13i?8j??(t)?(sint)i?tj,g(t)?(t2?1)i?etj,求lim(f(t)?g(t))??(u,v)?(u?v,u?v,uv),其中u?t2,v?sint,则?(2t?cost,2t?cost,2vt?ucost)dtdr(?,?)??t,??t2,则?(?asin?cos??2atcos?sin?,?asin?sin??2atcos?cos?,acos?)?r(t)dt?(?1,2,3),?r(t)dt?(?2,1,2),求2446?a?r(t)dt?b??a?r(t)dt?(3,?9,5),其中a?(2,1,1),b?(1,?1,0)?(t)?a(a为常向量),求r(t)?ta??(t)?ta,(a为常向量),求r(t)?t2a?(t)?(2?t)j?(logt)k,g(t)?(sint)i?(cost)j,t?0,则?(f?g)dt?2?(t)?(2t,t3,et)在任意点的切向量为(2,3t2,et)(t)?(acosht,asinht,at)在t?0点的切向量为(0,a,a)(t)?(acost,asint,bt)在t?0点的切向量为(0,a,b).z.:..勿以恶小而为之,勿以善小而不为。——刘备-1y?x?eez?:x?et,y?e?t,z?t2,当t?1时的切线方程为??e12??etcost,y?etsint,z?et,当t?0时的切线方程为x?1?y?z??r(u,v)为曲面的参数表示,如果r?r?0,则称参数曲面是正则的;如果r:G?r(G)是一一的,?曲线族和v?曲线族处处不相切,则称相应的坐标网为正规坐标网.(坐标网;易;3分钟)(u,v)?(u,v,0)的第一基本形式为du2?dv2,(u,v)?(coshucosv,coshusinv,u)的第一类基本量是E?cosh2u,F?0,G??axy上坐标曲线x?x,y?y的交角的余弦值是00002222(1?ax)(1?ay)(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式是du2?(u2?b2)(u,v)?(a(u?v),b(u?v),2uv)的第一基本形式是(a2?b2?4v2)du2?2(a2?b2?4uv)dudv?(a2?b2?4u2)(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的平均曲率为0.(正螺面、第一基本量、第二基本量;中;3分钟)(d)?du:dv是渐近方向的充要条件是?(d)?0或Ldu2?2Mdudv?Ndv2?(d)?du:dv和(δ)?δu:δv共轭的充要条件是II(dr,δr)?0或Lduδu?M(duδv?dvδu)?Ndvδv?0?E?L?F??是主曲率的充要条件是?0?F?M?G?NEdu?FdvLdu?(d)?du:dv是主方向的充要条件是?0Fdu?GdvMdu?,如果方向(d)?(du:dv)是主方向,则dn???dr,其中?是沿(d)???kr?Lni,j?1,2n???Lgkjri,j?1,2,,魏因加尔吞方程为,ijijkijiikikj,.:..士不可以不弘毅,任重而道远。仁以为己任,不亦重乎?死而后已,不亦远乎?——《论语》-1?g?g?(gij)?2212.??ijdet(g)?gg??(C)在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面?上的正投影曲线(C?)的曲率35.?,?,?之间的关系是?2??2??,???k?0,k?1,2ds2ijdsdsi,-波涅公式为??Kd????ds??(???)?2?giG?Gi??G是由测地线组成,则高斯-波涅公式为??Kd???(???)?2?.iGi?1二、?(?1,0,?1),b?(1,2,?1),则这两个向量的内积a?b为(C).(内积;易;2分钟)A2B?(1,1,1)且与向量a?(?1,0,?1)平行的直线的方程是(A).(直线方程;易;2分钟)?x?zx?1yA?B??z?1?y?123?x?yCx?1?y?z?1D??z??(1,1,?1),b?(1,0,?1),c?(1,1,1),则混合积为(D).(混合积;较易;2分钟)A2B?1C1D?(t)?(et,t,e?t),则r??(0)为(A).(导数;易;2分钟)A(1,0,1)B(-1,0,1)C(0,1,1)D(1,0,-1)?(t)??r(t),?为常数,则r(t)为(C).(导数;易;2分钟)A?taB?aCe?taDe?a上述a为常向量..z.:..古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚忍不拔之志。——苏轼-(x,y)?(x,y,xy),求dr(1,2)为(D).(微分;较易;2分钟)A(dx,dy,dx?2dy)B(dx?dy,dx?dy,0)?(cost,sint,t)的切线与z轴(C).(螺线、切向量、夹角;较易、2分钟)A平行B垂直??:r?r(s),s为自然参数,α,(C).Aα为单位向量Bα?αCα???βDβ???(B).(曲率;易;2分钟)A–:r?r(s)不正确的是(D).(伏雷内公式;较易;2分钟)A?(s)?α(s)B?(s)??(s),?为α(s)的旋转角C?(s)??α?βD?(s)?|r(s)|,"曲率恒等于0”是"曲线是直线”的(D).(曲率;易;2分钟)(D).(基本向量;易;2分钟)Aα,β,γ均为单位向量Bα?βCβ?γDα//,"曲率为零”是"曲线是直线”的(D).(曲率;易;2分钟),"挠率为零”是"曲线是直线”的(D).(挠率;易;2分钟)A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件t??a(t?sint),y?a(1?cost),z?4asin在点t?的切线与z轴关系为(D).22A垂直B平行?????1的参数表示为(C).(参数表示;易;2分钟).:..君子忧道不忧贫。——孔丘-A(x,y,z)?(cos?cos?,cos?sin?,sin?)B(x,y,z)?(acos?cos?,bcos?sin?,sin?)C(x,y,z)?(acos?cos?,bcos?sin?,csin?)D(x,y,z)?(acos?cos?,bsin?cos?,csin2?)???1的参数表示的是(D).(参数表示;易;2分钟)a2b2c2A(x,y,z)?(acoshusinv,bcoshucosv,sinhu)B(x,y,z)?(coshucosv,coshusinv,sinhu)C(x,y,z)?(asinhucosv,oshu)D(x,y,z)?(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)????1的参数表示的是(A).(参数表示;易;2分钟)a2b2c2A(x,y,z)?(asinhucosv,oshu)B(x,y,z)?(acoshucosv,oshu)C(x,y,z)?(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)D(x,y,z)?(coshucosv,coshusinv,sinhu)??2z的参数表示的是(B).(参数表示;易;2分钟)a2b2u2u2A(x,y,z)?(ucosv,usinv,)B(x,y,z)?(aucosv,businv,)22u2C(x,y,z)?(aucoshv,businhv,)D(x,y,z)?(acosv,bsinv,v)??2z的参数表示的是(C).(参数表示;易;2分钟)a2b2A(x,y,z)?(acoshu,bsinhu,u)B(x,y,z)?(coshu,sinhu,u)C(x,y,z)?(a(u?v),b(u?v),2uv)D(x,y,z)?(au,bv,u?v)(u,v)?(2u?v,u2?v2,u3?v3)在点M(3,5,7)的切平面方程为(B).(切平面方程;易;2分钟)A21x?3y?5z?20?0B18x?3y?4z?41?0C7x?5y?6z?18?0D18x?5y?3z?16?(u,v)?(Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu)的第一基本形式为(D).(第一基本形式;中;2分钟)AR2(du2?sin2udv2)BR2(du2?cosh2udv2)CR2(du2?sinh2udv2)DR2(du2?cos2udv2).z.:..穷则独善其身,达则兼善天下。——《孟子》-(u,v)?(Rcosv,Rsinv,u)的第一基本形式为(C).(第一基本形式;中;2分钟)Adu2?dv2Bdu2?dv2Cdu2?R2dv2Ddu2?(du,dv)?du2?sinh2udv2的曲面上,方程为u?v(v?v?v)的曲线段的弧长为(B).(弧12长;中;2分钟)Acoshv?coshvBsinhv?sinhv2121Ccoshv?coshvDsinhv?,则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是(B).AE?0BF?0CG?0DM?(D).(魏因加尔吞变换;较易;2分钟)Adn?(dr)Bdn?(dr)uCdn?(dr)Ddn??(dr)(C).(魏因加尔吞变换;较易;2分钟)AI(dr,(δr))??II(dr,δr)BI(dr,(δr))??I((δr),dr)CI(dr,(δr))?I((dr),δr)DI(dr,(δr))?II((dr),δr)(A).(魏因加尔吞变换;较易;2分钟)AI(dr,(δr))?II(dr,δr)BI(dr,(δr))?II((dr),δr)CI(dr,(δr))??I((dr),δr)DII(dr,(δr))?II((dr),δr)(C).(高斯曲率;易;2分钟)A极小曲面B球面C常高斯曲率曲面D平面第四章B69.?gijg?___________.(第一基本形式;易;2分钟)jii,jA1B2C0D-1B70.?g?j?______.(第一基本形式;易;2分钟)kjljAgBgCgDgkjklkiijA71.?k?________.(克氏符号;较易;2分钟)ij1?g?g?g1?g?g?gA?gkl(il?jl?ij)B?gkl(il?jl?ij)2?uj?ui?ul2?uj?ui?.:..古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚忍不拔之志。——苏轼-1?g?g?g1?g?g?gC?gkl(il?jl?ij)D?gkl(il?jl?ij)2?uj?ui?ul2?uj?ui?(如果有的话),参数曲线u-曲线的测地曲率为_____.(*维尔定理、测地曲率;中;4分钟)1?lnE1?lnEAB?2E?u2G?v1?lnG1?lnEC?D2E?v2G?,则它必为_____.(测地曲率、法曲率、曲率;中;2分钟)(K??1)上,任何测地三角形的内角之和____.(高斯-波涅定理;中;4分钟)A等于?B小于?C大于?D不能确定三、(t)?(x(t),y(t),z(t)),i?1,2,3为向量函数,则下列论述正确的是(AD).(导数;易;4分钟)iiiiAr?(t)?(x?(t),y?(t),z?(t))1111Br?(t)?(x?(t),y(t),z(t))?(x(t),y?(t),z(t))?(x(t),y(t),z?(t))1111111111C(r(t),r(t),r(t))??(r?(t),r?(t),r?(t))123123D(r(t),r(t),r(t))??(r?(t),r(t),r(t))?(r(t),r?(t),r(t))?(r(t),r(t),r?(t))123123123123E(r(t),r(t),r(t))??(r?(t),r(t),r(t)),n为常向量,r(t)为向量函数,则下述正确的是(ABC).(积分的性质;中;4分钟)bbbbA?m?r(t)dt?m??r(t)dtB?m?r(t)dt?m??r(t)dtaaaabbbbC?(m,n,r(t))dt?(m?n)?r(t)dtD?(m,n,r(t))dt?(m?n)?r(t).:..学而不知道,与不学同;知而不能行,与不知同。——黄睎-bbE?(m,n,r(t))dt?(m?n)??r(t)(ACDE)。(曲线的概念;易;4分钟)Ar(x)?(x,x3),x?(??,??)Br(x)?(x2,x3),x?(??,??)Cr(x)?(x2,x3),x?(0,??)Dr(x)?(cosx,x),x?(??,??)Er(x)?(x,x),x?(?1,2)(ABCDE)。(曲线的概念;易;4分钟)Ar?(cost,sint,t),t?(??,??)Br?(sin3t,3t,0),t?(??,??)Cr?(cost,cos2t,sint),t?(??,??)Dr?(cost,1?cost?sint,?sint),t?(??,??)Er?(2sin2t,2sin2ttant,t),t?(??,??)(ABCE).(伏雷内公式;中;4分钟)Aγ?α?βBγ?αCβ??kα??γDγ?βEγ∥?x3?y3在点M(1,2,9)的(AD).(切平面、法线;中;4分钟)A切平面方程为3x?12y?z?18?0B切平面方程为3x?14y?z?8?0x?1y?3z?9C法线方程为??312?1x?1y?2z?9D法线方程为??312?1x?1y?2z?9E法线方程为??412??(ucosv,usinv,av)的(AC).(切平面、法线;中;4分钟)A切平面方程为xasinv?yacosv?zu?auv?0B切平面方程为xasinu?yacosu?zv?auv?.:..操千曲尔后晓声,观千剑尔后识器。——刘勰-C切平面方程为xasinu?yacosu?zv?auv?0x?ucosvy?usinvz?avD法线方程为??asinv?acosvux?ucosvy?usinvz?avE法线方程为??asinu?,(ABD)不能作为曲面的第一基本形式.(第一基本形式;易;4分钟)AI(du,dv)?du2?4dudv?dv2BI(du,dv)?du2?4dudv?4dv2CI(du,dv)?du2?4dudv?6dv2DI(du,dv)?du2?4dudv?2dv2EI(du,dv)?du2?4dudv?(u,v)?(ucosv,usinv,f(u)?av)的第一类基本量是(BCD).(第一基本量;易;4分钟)AE?1?(f(u))2BE?1?(f?(u))2CF?af?(u)DG?a2?u2EG?a2?,(BCD)是旋转常高斯曲率曲面.(常高斯曲率曲面;易;4分钟),测地曲率??_____(设曲线的切方向与r的夹角为?).gud?EGA?vcos??usin?ds2EG2GEd?1?lnE1?lnGB?cos??sin?ds2G?v2E?ud?C??cos???sin?dsgugvd?D??sin???cos?dsgguvd?E??cos???sin?(测地线的概念;中;4分钟)d2ukduidujA满足方程???k?0的曲线ds2ijdsdsi,.:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》-B满足??0的曲线gC除了曲率为零的点外,曲线的主法线重合于曲面的法线D满足??0的曲线E满足??0的曲线n四、。[解]设G是初等区域,S?R3,如果存在一个连续一一映射r:G?R3使得r(G)?S,则称S是一*曲面,而r?r(x)。【解】曲面S:r?r(u,v),(u,v)?G,r(u,v)的像叫u?曲线,r(u,v)的像叫v?曲线,u?曲线和v?。【解】称二次型I(du,dv)?Edu2?2Fdudv?Gdv2(其中E?r?r,F?r?r,G?r?r)、F、。【解】。【解】称二次型II(du,dv)?Ldu2?2Mdudv?Ndv2(其中L?r?n,M?r?n,N?r?n),M,.【解】若在P点有LN?M2?0,。【解】给定曲面S上一点P处的一个切向量(d)?du:dv,则P点沿方向(d)的法曲率定义为?(d)?II(dr,dr)/I(dr,dr).。【解】使法曲率?(d)达到极值的方向叫曲面在该点的主方向,。【解】曲面的两个主曲率之积K????。【解】平均曲率H?、?a(t?sint),y?a(1?cost)的0?t?2?一段的弧长.(弧长;中;5分钟)【解】旋轮线r(t)?(a(t?sint),a(1?cost))的切向量为r?(t)?(a?acost,asint),则它的0?t?2?一段的弧长为:.z.:..丹青不知老将至,贫贱于我如浮云。——杜甫-2?2?s??r?(t)dt??2a1?costdt??tsint,y?tcost,z?tet在原点的切向量、主法向量、副法向量.(基本向量;中;10分钟【解】由题意知r?(t)?(sint?tcost,cost?tsint,et?tet),r??(t)?(2cost?tsint,?2sint?tcost,2et?tet),在原点时有r?(0)?(0,1,1),r??(0)?(2,0,2)。又r?(r?,r?)r???(r?,r??)r?r??r??α?,β?,γ?,r?r??r??r??r??r??所以有22666333α?(0,,),β?(,?,),γ?(,,?)。(t)?(acost,asint,bt)。(基本向量、曲率、挠率;中;15分钟)①求基本向量α,β,γ;②求曲率?和挠率?;【解】①由题意有r?(t)?(?asint,acost,b),γ??(t)?(?acost,?asint,0),r?(r??r?)r???(r??r??)r?r??r??又由公式α?,β?,γ?有r?r??r??r??r??r??r??r??(r?,r??,r???)ab②由一般参数的曲率公式?(t)?及挠率公式?(t)?有??,??。r?3r??r??2a2?b2a2?(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的切平面和法线方程.(切平面、法线;中;5分钟)【解】r?(cosv,sinv,0),r?(?usinv,ucosv,b),切平面方程为uvx?ucosvy?usinvz?bv法线方程为??.bsinv?(?,?)?(acos?cos?,acos?sin?,asin?)上任一点处的切平面与法线方程.【解】r?(?asin?cos?,?asin?sin?,acos?),?r?(?acos?sin?,acos?cos?,0),?.z.:..先天下之忧而忧,后天下之乐而乐。——范仲淹-?球面上任意点的切平面方程为即cos?cos??x?cos?sin??y?sin??z?a?0,法线方程为x?acos?cos?y?acos?sin?z?asin?即??.cos?cos?cos?sin?sin??a(x2?y2)的第一基本形式.(第一基本形式;中;5分钟)【解】参数表示为r(x,y)?(x,y,a(x2?y2)),r?(1,0,2ax),r?(0,1,2ay),xyE?r?r?1?4a2x2,F?r?r?4a2xy,xxxyG?r?r?1?4a2y2,yy?I(dx,dy)?(1?4a2x2)dx2?8a2xydxdy?(1?4a2y2)(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式.(第一基本形式;中;5分钟)【解】r?(cosv,sinv,0),r?(?usinv,ucosv,b),uvE?r?r?1,F?r?r?0,G?r?r?u2?b2,uuuvvv?I(du,dv)?du2?(u2?b2)(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的第一、第二基本量.(第一基本形式、第二基本形式;中;15分钟)【解】r?(cosv,sinv,0),r?(?usinv,ucosv,b),uvr?(0,0,0),r?(?sinv,cosv,0),r?(?ucosv,?usinv,0),uuuvvvijkr?r?cosvsinv0?(bsinv,?bcosv,u),uv?usinvucosvbr?r(bsinv,?bcosv,u)n?uv?,|r?r|b2?u2uvE?r?r?1,F?r?r?0,G?r?r?u2?b2,uuuvvvbL?r?n?0,M?r?n??,N?r?n???x2?y2的高斯曲率和平均曲率.(高斯曲率、平均曲率;中;15分钟).z.:..学而不知道,与不学同;知而不能行,与不知同。——黄睎-【解】设抛物面的参数表示为r(x,y)?(x,y,x2?y2),则r?(1,0,2x),r?(0,1,2y),xyr?(0,0,2),r?r?(0,0,0),r?(0,0,2),xxxyyxyyijkr?r?102x?(?2x,?2y,1),xy012yr?r(?2x,?2y,1)n?xy?,|r?r|4x2?4y2?1xyE?r?r?1?4x2,F?r?r?4xy,G?r?r?1?4y2,xxxyyy2L?r?n?,M?r?n?0,xxxy4x2?4y2?12N?r?n?,yy224x?4y?14?0LN?M24x2?4y2?14K???,EG?F2(1?4x2)(1?4y2)?(4xy)2(4x2?4y2?1)21GL?2FM?EN4x2?4y2?2H???.2EG?F23(4x2?4y2?1)(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的高斯曲率(高斯曲率;中;15分钟)【解】直接计算知aE?1,F?0,G?u2?a2,L?0,M?,N?0,u2?a2LN?M2a2?K???.EG?F2(u2?a2)?ucosv,y?usinv,z?av上的圆柱螺线x?ucosv,y?usinv,z?av(u=常数)的测地曲000率.(测地曲率、*维尔定理;中;15分)?d?【解】因为正螺面的第一基本形式为Ι?du2?(u2?a2)dv2,螺旋线是正螺面的v-曲线u?u,由??得?.:..为天地立心,为生民立命,为往圣继绝学,为万世开太平。——张载-Gu??u??a20六、?(etcost,etsint,0)的切向量与曲线的位置向量成定角.(切向量、夹角;较易;5分钟)【证】对曲线上任意一点,曲线的位置向量为r?(etcost,etsint,0),该点切线的切向量为:r??(et(cost?sint),et(sint?cost),0),则有:r?r?e2t2cos????,rr?2et?et2?故夹角为。由所取点的任意性可知,:若r?和r??对一切t线性相关,则曲线是直线.(曲率;中;10分钟)【证明】若r?和r??对一切线性相关,则存在恒不同时为0的f(t),g(t)使f(t)r?(t)?g(t)r??(t)?0。则r?(t)?r??(t)?0?t。r??r??又?(t)?,故k(t)?0?t。??acost,y?asint,z?bt的主法线和z轴垂直相交.(主法线、夹角;中;10分钟)【证明】由题意有r?(t)?(?asint,acost,b),r??(t)?(?acost,?asint,0)。(r?,r?)r???(r?,r??)r?由β?知β?(?cost,?sint,0)。另一方面z轴的方向向量为a?(0,0,1),而a?β?0,故a?β,r??r??r???asin2t,y?asintcost,z?acost的所有法平面皆通过坐标原点.(法平面;较易;5分钟)【证明】由题意可得r?(t)?(asin2t,acos2t,?asint),则任意点的法平面为asin2t(x?asin2t)?acos2t(y?asintcost)?asint(z?acost)?0将点(0,