医学高数3(极限的运算).ppt

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无穷小量的运算
极限运算法则
两个重要极限
一、无穷小量的运算
（一）无穷小
定义1-10 在自变量的某中变化过程中，若函数
y=f (x)的极限为零，则称函数 f (x)为该变化过程中的
无情小量，简称为无穷小(infinitesimal)。
定义1-11 如果对于任意给定的正数 （不论它多么
小），总存在正数 （或正数 X ），使得对于适合不
等式 0 < x-x0 < （或 x > X ）的一切 x ，对应的函
数值 f (x)都满足不等式
 f (x)  < 
则称函数 f (x) 是当 xx0（或 x∞）时的无穷小，
记为
（或 ）
也可记为 f (x) 0（ xx0）（或 f (x)0（x∞））
例如∵ ∴当 n∞时， 是无穷小；
∵ ∴当 x0 时，函数 f (x)= x 为无穷小；
∵ ∴当x∞时，函数 为无穷小。
注意：不要把无穷小与很小的数（例如百万分子
混为一谈。因为无穷小量是在自变量的某个变化
过程中函数值趋近于 0 的函数，一般说来，它是一个
变量。数 0 是可以作为无穷小的唯一的常数，因为它
的极限就是它本身。
定理1-1 的充要条件是 f (x)=A+，其
中A为常数,  是当 xx0 时的无穷小。
证明 充分性：因为 ，故对于任意给定
的正数  ，存在正数  ，当0 < x-x0 <  时，恒有
 f (x) - A  < 
令= f (x) - A ，则 < ，即  是当 xx0 时的无穷
小，且 f (x)=A+
必要性：由于f (x)=A+ ，其中A是常数， 是xx0
时的无穷小，于是  f (x) - A  = 
此时  是 xx0 时的无穷小，则对于任意给定的正数
，存在正数  ，当 0 < x-x0 <  时，恒有 <  成立，
即  f (x) - A  <  从而
（二）无穷大
如果当 xx0（或x∞）时，对应的函数值 f (x)的
绝对值  f (x) 无限增大，即可以大于事先给定的无论
多么大的正数 M ，就说函数当 xx0（或x∞）时为
无穷大量，简称为无穷大。
定义1-12 如果对于任意给定的正数 M（不论它多么
大），总存在 正数 （或正数 X ），使得对于适合不
等式 0 < x-x0 < （或 x > X ）的一切 x ，对应的函
数值 f (x) 总满足不等式
 f (x) > M
则称函数 f (x) 当 xx0（或x∞）时为无穷大
(infinity)。
当 xx0（或 x∞）时为无穷大的函数 f (x) ，按极
限的定义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，
也借用极限符号，记为
（或 ）

例如：当 时，正切函数 tanx 的绝对值  tanx 
无限增大。记为
如果 ，则称直线 x=x0 为曲线 y = f (x)
的一条铅直渐近线。
注意：无穷大不是数，不可与很大的数（如一千
万，一亿万）混为一谈。
如果在无穷大定义中，对于 x0 附近的 x（或 x  相
当大的 x ），对应的函数值 f (x) 都是正的（或都是负
的），则称它为正无穷大（或负无穷大），
记为 （或 ）
或者 （或 ）
定理1-2 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为
无穷大，那么 为无穷小；反之，如果 f (x) 为无
穷小，且 f (x) ≠0，那么 为无穷大。
例1-13 讨论当 x1 时，函数 的变化趋
势。
解： 表1-3
可见， 也就是说当 x1 时 x-1 是无穷
小，所以当 x1 时， 是无穷大。
直线 x=1 是双曲线 的铅直渐近线。
注意（1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆；
（2）切勿将 认为极限存在；
（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无
界变量未必是无穷大。
例如 当 x0 时， 是一个无界变量，因为
当 ，k 时 y 。
但是当 ， k 时 y 0。
故 不是无穷大。
定理1-3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。
证明 设  与  是同一变化过程中的两个无穷小，而
= +  。
因为  与  是无穷小，对于任意给定的正数  ，存
在正数  ，当 0 < x-x0 <  时，不等式
   < /2 、   < /2
同时成立，于是
  =+≤    +    < /2 + /2= 
因此  也是无穷小。
有限个的情形也可以同样证明。
定理1-4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论1-1 常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论1-2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。