华中科技大学数理方程课件-第二章分离变量法.ppt

该【华中科技大学数理方程课件-第二章分离变量法 】是由【7489238】上传分享，文档一共【82】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【华中科技大学数理方程课件-第二章分离变量法 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。二、有限长杆上的热传导
三、拉普拉斯方程的定解问题
四、非齐次方程的解法
五、非齐次边界条件的处理
六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动
DEFENCE
logo
适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等
有界弦的自由振动
基本思想：
首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。
特点：
物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；
把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
令
代入方程：
令
代入边界条件
求两端固定的弦自由振动的规律
特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题
特征（固有）值：使方程有非零解的常数值
特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解
分情况讨论：
1）
2）
3） 令 ， 为非零实数
▪分离变量
▪求特征值和特征函数
▪求另一个函数
▪求通解
▪确定常数
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
2 解的性质
x=x0时：
其中：
驻波法
t=t0时：
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。
解：
于是得到一系列分离变量形式的特解
这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为