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四、小结 思考题
一、问题的提出
二、方向导数的定义
三、梯度的概念
一、问题的提出
【回顾】
一元函数
反应函数 y 在点x0处沿x轴直线方向的变化率.
二元函数
反应函数z在点P(x0 , y0)处沿x轴直线方向的变化率
反应函数z在点P(x0 , y0)处沿y 轴直线方向的变化率
二元函数z = f (x ,y)在点P(x0 , y0)处沿其它射线方向的变化率如何？(x ,y同时在变化)
【问题】
二、方向导数的定义
讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题．
（如图）
—— l 的参数方程
1.【定义】
记为
【说明】
对方向导数,以下两种定义方式等价
（自己推导）
综上①②可知：若某点偏导数存在，能保证该点沿x、y .
[例如]
但反之，若方向导数存在，偏导数不一定存在
附注※偏导数存在而其他方向的方向导数不存在
01
易知在原点不连续且
02
当cosα,cosβ都不为0时(有一个为0就是x，y轴的四个
射线方向之一)，沿方向
03
不存在
04
[例如]
05
【方向导数的存在及计算】
方向导数何时存在、以及与偏导数有何关系，有如下定理
【证明】
由假设
则
[证毕]
故有方向导数公式
【注意】
(1)可微是方向导数存在的充分条件. 此时
(2)在不可微点，方向导数也可能存在，
此时要用方向导数定义求.
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