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分层抽样
#2022
第三节 总样本量的分配
第一节 分层抽样概述
第四节 分层与提高精度
第二节 总体参数的估计
第一节 分层抽样概述
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若干个层（组），然后在各层内分别独立地进行抽样。由此所抽得的样本称之为分层样本。各层所抽的样本也是互相独立的。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做分层随机抽样。由此所得到的样本称做分层随机样本。
分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大”的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的分界。以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多的关注。
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分层抽样具有以下特点：
分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。但当对总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效果。
在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和层内方差两部分。由于分层抽样的误差只与层内差异有关，而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精度。
由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内，所以其代表性也更好些。
分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中，而在层与层之间则是相互独立的。
分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大的总体。因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。
分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。但对各层的估计缺乏精度保证。
分层抽样调查实施中的组织管理及数据收集和汇总处理可以分别在各层内独立地进行，因此较之简单随机抽样更方便。
分层抽样中，由于各层的抽样相互独立，互不影响，且各层间可能有显著的不同，因此，对不同层可以按照具体情况和条件分别采用不同的抽样和估计方法进行处理，从而提高估计的精确度。
当总体有周期现象时，用分层比例抽样法可以减少抽样方差。
分层抽样中在进行分层时，需收集可用于分层的必要的各种资料，因此可能会增加一定的额外费用。同时，分层抽样中，总体参数的估计以及各层间样本量的分配、总样本量的确定等都更为复杂化。
满足下述条件时，分层在精度上会有很大的得益：
总体是由一些大小差异很大的单元组成的，即总体差异大；
分层后，每层所包含的总体单元数应是可知的，也即分层后各层的权重是确知的或可以精确估计的；
要调查的主要变量（标志）与单元的大小是密切相关的；
对单元的大小有很好的测量资料可用于分层，也即分层变量容易确定。
一、分层抽样相关符号说明
在分层抽样中，先将含有 个单位的总体分成分别含有
个单位的 层，这些层之间互不重复，且有：
从每层中抽取一个子样本，而且抽样在各层中独立进行，若各层内样本量分别用 表示，则将这些子样本合起来就是从总体中所抽取的一个样本。其样本容量 显然满足： ，对于分层抽样，经常使用下列一些符号：
第 层总体中的单位数；
第 层样本中的单位数；
第 层的总体总量；
第 层的样本总量；
第 层第 个总体单元（单位）的取值；
第 层第 个样本单元（单位）的取值；
第二节 总体参数的估计
第 层的总体层权；
第 层的抽样比；
第 层的总体均值；
第 层的样本均值；
第 层的总体方差；
第 层的样本方差。
＝ 为总体总量；
Ｌ表示分层的层数； h表示层的编号（h＝１，２，３,…,Ｌ）；
估计量
总体均值的估计量
在分层抽样中，总体均值 的估计量一般用 表示，它是各层总体均值 的估计量按层权 的加权平均，即：
如果得到的是分层随机样本，则总体均值 的简单估计为：
一般情况下：
原因在于权数问题。在 中，每层都有精确的权数 。如果每层都有 或 ，即 ，则 完全相等于 。这种情况称为 按比例分配的分层抽样，各层的抽样比相同。
总体总和Ｙ的估计量
有了总体均值的估计量，就可推出总体总和的估计量：
总体比例P的估计量
按照总体均值估计量的公式，可推出总体比例（成数）Ｐ的估计量为：
可以证明，在分层随机抽样中， 是 的无偏估计量，是 的无偏估计量， 是Ｐ的无偏估计量。