数学建模公选课第二讲.ppt

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基础教研室
数学建模公选课
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202X
引例： 某商业规划处在商场内要装修I 、II两种经营不同商品的铺位各若干个，已知装修一个铺位所需的人数及A、B两种装修材料的消耗，如下表所示。
I
II
现有数量
设备
1
2
8人
原材料A
4
0
16kg
原材料B
0
4
12kg
该商场每个铺位I可获利 2万 元，每个铺位II可获利 3 万元，问应如何安排装修计划使商场获利最大？
这问题可以用以下的数学模型来描述：设x1,x2分别表示在计划期内装修I、II的数量。因为可调动的人数为8人，这是一个限制装修数量的条件，所以在确定I 、II的数量时，要考虑不超过可调动人数，即可用不等式表示为：x 1+2x 2 8 .
同理，因装修材料A 、B的限量，可以得到以下不等式：4x116，4x 2 12.
该商场的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定数量x1、x2以得到最大的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2 x 1+3 x 2 。
满足约束条件：
3
综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：
1
目标函数：Max z = 2x 1 + 3x 2
2
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。现进行图解。
在以x1、x2为坐标轴的直角坐标系中，非负条件x1, x2  0 是指第一象限（及x轴正半轴、y轴正半轴）。每一个约束条件都表示一个半平面。若约束条件 x 1 + 2x 2  8 是代表以直线x 1 + 2x 2 = 8为边界的左下方的半平面，同时满足x 1 + 2x 2  8，4 x 1  16，4 x 2  12和x 1 ，x 2  0约束的点，必然在由这三个半平面围成的区域内。所有约束条件为半平面围成的区域见右下图阴影部分。阴影区域中的每一个点（包括边界点）都这个线性规划问题的解。
图解法
再分析目标函数
Q1
Q2
x1
x2
Q4
Q3
x 1 + 2x 2 = 8
4x1 = 16
4x2 = 12
1
2
3
o
在这坐标平面上，它表示以 z为参数、 为斜率的一族平行直线 ：
x 2 = – x1 + z
位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称它为“等值线”。当z值由小变大时，直线x 2 = – x1 + z 沿其法线方向（法线方向是指与直线垂直的方向）向上方移动。当移动到Q 2点时，使z值在可行域（阴影部分）边界上实现最大化，这就得到了最优解Q2，Q2点的坐标为（4，2）。于是算得Max =14。
这说明该商场的最优装修计划方案是：装修铺位I 4间，装修铺位II 2间，可得到最大利润为14万元。
线性规划模型形式
线性规划模型的矩阵式
目标函数 ：max，min
约束条件：≥,=,≤
变量符号：：≥0
线性规划的标准形式
目标函数：min
约束条件 ：=
变量符号 ：≥0
线性规划的简写式
线性规划的向量式
其中：C=(c1,c2,…,cn)------价值向量
X=(x1,x2,…,xn)T　　------决策向量
Pj=(,…,amj)T------系数向量
B=(b1,b2,…,bn) T------资源向量