曲线拟合-最小二乘法.ppt

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曲线拟合问题
仍然是已知 x1 … xn ; y1 … yn, 求一个简单易算的近似函数 f(x) 来拟合这些数据。
但是① n 很大；
这时没必要取 f(xi) = yi , 而要使 i=f(xi)  yi 总体上
尽可能地小。
这种构造近似函数 的方法称为曲线拟合，f(x)
称为拟合函数
称为“残差”
x
x0
x1
x2
……
xn
y
y0
y1
y2
……
yn
插值
y=f(x)
y=p(x)
单击此处添加标题
01
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02
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。
拟合
与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。
两种逼近概念:
插值: 在节点处函数值相同.
拟合: 在数据点处误差平方和最小
在对给出的实验(或观测)数据
作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢？
常见做法：
使 最小
较复杂，
使 最小
不可导，求解困难
“使 i=P(xi)  yi 尽可能地小”有不同的准则
曲线拟合的最小二乘法
拟合问题的提出及其最小二乘法
例 某物质的溶解度y和温度x的关系经测定满足下面数据表，试建立该问题的数学模型.
从图中可见，
8
y与x近似成抛物线关系，
数据点分布在一抛物线的两侧.
因此，可以猜测
即有
其中
是待定常数，
这就是本问题的数学模型.
确定了问题的数学模型后，
9
中的待定常数.
还需求出
不妨假设
与待定常数呈线性关系，
即
这里
是线性无关函数系，
为待定常数.
在例1中，设函数
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我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，
误差为
即使得误差带权平方和
越小越好.