曲线的参数方程.ppt

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在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。
1、参数方程的概念
参数方程的概念
探究：
一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
A
M(x,y)
x
y
o
飞机在A点将物资投出机舱，在经过飞行航线（直线）且垂直
与地面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这
个平面的郊交线，y轴经过A点。
记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为点M（x,y）,
则x表示物资的水平位置，y表示物资距地面的高度。由于水平位移
量x与高度y是由两种不同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足
的关系式并不容易。
换个角度看这个问题。
由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
请用自己的语言来比较一下参数方程与普通方程的异同点
2、圆的参数方程
x
o
y
M(x,y)
圆周运动是生产生活中常见的。当物体绕定轴做匀速转动时，物体中各个点都做匀速圆周运动，那么怎样刻画运动中点的位置呢？
设圆O的半径为r，点M从初始位置 出发，按逆时针方向在圆O上做匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω。以圆心O为原点， 所在直线为x轴，建立直角坐标系。显然，点M的位置由时刻t 惟一确定，因此可取t为参数。
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