极限运算的基本法则.ppt

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§ 极限运算的基本法则
二. 复合函数的极限运算法则

根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为ƒ(x)的极限,
而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计算问题, 我们
首先建立极限运算的基本法则, 再利用这些法则和前面已经给
出的一些相关结论, 来解决极限的计算问题.
在自变量x 的同一变化过程中, 如果
下面仅以极限过程为 x→x0 的(1)的证明为例, 其他类似证明.
证明
因为
即 可以表示为常数与无穷小之和, 即得证.
定理的结论(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及
乘积的极限情况.
都存在，则有：
例如，如果在自变量 x的同一变化过程中，
，
推论2 如果
存在，且n是正整数，则
存在，而C为常数，则
推论1 如果
例1 求
解
解
由例1、例2可知：
解
因为
则极限 不能直接应用商的极限运算性质,
分子和分母都含有因式 x -3, 约去这个因式得
解
将分子有理化, 得
例4
解 因为
极限 不能直接使用商的极限运算法则, 从
分子和分母约去 x的最高次幂 有
一般地，当x→∞ 时，有理函数的极限有如下结论:
解 分子和分母约去n4，有