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三、调和函数
导数公式
第三节 柯西积分公式和高阶
二、高阶导数公式
一、柯西积分公式
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在
一、柯西积分公式
则
是正向简单闭曲线，
是
设
解析，
上及其内部
内一点，
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在
二、高阶导数公式
则
是正向简单闭曲线，
是
设
解析，
上及其内部
内一点，
常用于计算积分：
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这两个积分的被积函数分别为：
公式
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圆周
内包含
而函数
在
内解析，
所以
计算积分
解：
单击此处添加标题
02
单击此处添加标题
01
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解：
圆周
内包含
而函数
在
内解析，
所以
计算积分
例4
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02
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01
例5
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计算积分
解：
其中
原积分
三、调和函数
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定义：
设
在区域
内具有二阶连续偏导数，
并且满足拉普拉斯方程
那么称
为区域
内的调和函数.
定义：
且满足柯西 - 黎曼方程
设
都是
内的调和函数，
则称
是共轭调和函数.
任何在区域
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定理：
内解析的函数，
它的实部和
虚部都是
内的调和函数.
例6
解：
证明
为调和函数，
并求其共轭
调和函数
和由它们构成的解析函数.
所以
即
为调和函数.
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