算符对易关系-第三章.ppt

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1．算符的对易关系
设 和 为两个算符
若 ，
则称 与 对易
若 ，
则称 与 不对易
引入对易子：
若 ，
则 与 对易
若 ，
则 与 不对易
2
算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续１）
力学量算符的基本对易关系
请输入文字内容
01
请输入文字内容
02
证明对易关系式
3
算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续２）
Ex
Prove
设 为任一可微函数
特别地，当 代入上对易式，即证得
同理可证：
prove:
（2）对易恒等式
雅可比恒等式
双线性
算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续３）
角动量算符的对易关系
Prove:
等于零
等于零
算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续５）
7
定理
prove:
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
设 是 和 的共同本征函数完全系，则
设 是任一状态波函数，
若算符 和 具有共同的本征函数完全系，则 和 必对易。
逆定理
prove:
设 是 的本征函数完全系，则
若算符 与 对易，则
（1）
（2）
为简单起见，先考虑非简并情况。由（1）、（2）式知， 和 都是 属于本征值 的本征函数，它们最多相差一个常数因子 ，即
可见， 也是 的本征方程的解。因此， 是
的本征函数完全系
若算符 与 对易，则它们具有共同的本征函数完全系
算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续7）
若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。
两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。
注
为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了）
角动量算符 和 对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系 。
算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续9）
同时有确定值。
在 描述的状态中，
在 描述的状态中，
和 可同时有确定值:
　动量算符 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系