基于射影平面PG(2,Fq)上的极线存在性.docx

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射影平面PG(2,Fq)是研究三维几何的基础，它是一个具有无限远点和无线远直线的射影平面，其中Fq是一个有限域，q表示平面上的点的个数，通常为素数的幂次。
射影平面PG(2,Fq)的几何特性十分丰富，其中一个重要的概念就是极线。极线在几何学中指的是两点之间的直线，这两个点是给定的曲线上的任意两点。极线存在性是一个重要的研究课题，对于解决现实生活中的问题有着非常广泛的应用。
首先，我们考虑一个点P在平面上移动的情况。对于一个固定的曲线C，我们可以通过每个点P画出一条直线，这条直线穿过曲线C的两个相异点Q和R，我们称这条直线为点P的极线。当我们移动点P时，对应的极线也会随之变化。如果对于任意一个点P，都能找到曲线C上的两个不同的点Q和R，使得极线PR和PQ都存在，则成为曲线C的一般三次曲线。
关于极线存在性，还有一个非常重要的定理——布尔定理，它给出了一般三次曲线的判别方法。布尔定理表明，一般三次曲线上“几乎所有”的点都有两条与之对应的极线，仅当曲线通过两个特殊的点时，这两个点的极线是同一条，即两点相互对偶。
接下来，我们进一步探讨这个定理的证明，通过这个证明我们也能更好的理解极线存在性的概念。
假设有一个曲线C，它是一个一般的三次曲线，我们来证明它的每个点P都有两条相互对偶的极线。假设点P对应的极线为L，它穿过曲线C上的两个点Q和R。由于L是P的极线，它对应着曲线C上的点Q和R的极点，我们将它们分别表示为q和r，L对应的直线为l。那么，点P的极线PR对应的极点为q，点P的极线PQ对应的极点为r。
我们再考虑与点P关联的直线集合S，它包含了所有的通过点P的直线。我们将这个集合中的直线排序，并按照q和r的位置关系将它们分成两组，分别表示为S1和S2。由于曲线C上“几乎所有”的点都有两条相互对偶的极线，一定存在一个点P使得S1和S2中至少有一个集合都非空。
我们考虑S1的最后一条直线l1和S2的第一条直线l2，它们对应的极点分别为q'和r'，并且q'和r'都在曲线C上。由于S1和S2两个集合的排列顺序是按照q和r的位置关系确定的，所以l1和l2是S1和S2中所有直线的最高和最低元素。现在，我们将r'到q'之间的所有点投影到S1上，得到一个点Q'，其极线为L'，它穿过曲线C上的两个点P和R'。同样地，我们将q'到r'之间的点投影到S2上，得到一个点R''，其极线为L''，它穿过曲线C上的两个点Q''和P。注意到，由于l1和l2是在S中最上方和最下方的两条直线，所以包含Q''和R'的两个集合至少有一条直线是l1或者l2。
接下来，我们证明L'和L''相互对偶。首先，我们需要证明l'和l''在q'和r'处交于同一点。由于Q和R'在直线l1和l'上，Q''和R在直线l2和l''上，所以这两条直线已经穿过了交点。其次，L'的极点是q'，也就是S1中所有直线与P的交点的极点，同样地，L''的极点是r'，是S2中所有直线与P的交点的极点。由于S1和S2中的所有直线都经过P，所以它们对应的极点q'和r'是相互对偶的，即q'对应的直线l'和r'对应的直线l''相互对偶。因此L'和L''也相互对偶。
到此为止，我们已经证明了每个一般三次曲线通过任意一点都有两条相互对偶的极线这一定理。这个证明也揭示了曲线C上存在两个特殊的点，如果通过这两个点的极线是同一条，则矛盾。因此，曲线C上不存在这样的点。这就证明了布尔定理。
总结来说，射影平面PG(2,Fq)上极线的存在性是一个重要的研究课题，它与一般三次曲线的判别方法、布尔定理等概念密不可分。通过对极线存在性和布尔定理的研究，我们可以更加深入地理解射影平面PG(2,Fq)的几何特性，为解决实际问题提供更加有力的工具。