经典力学和量子力学中的谐振子.ppt

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学生姓名： 辛**
指导教师： 陈**

CONTENTS
1简谐振子
2受驱谐振子
3阻尼谐振子
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4受驱阻尼振子
5完整数学描述
6经典谐振子的计算
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简谐振子不受驱动力和摩擦力，其合力为：
由牛顿第二定律，且加速度等于x对t的二次微分导数，得：
若定义 ，则方程可以写为：
其一般解为：

一受驱谐振子满足如下非齐次二阶线性微分方程：
其中A0是驱动振幅，ω是驱动频率，针对的是一弦波式
的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C）
电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部
的空气阻力）。

阻尼谐振子满足如下二阶微分方程：
其中b是阻尼常数，满足关系式 。满足此方
程的一个例子为置于水中的加权弹簧，假设水所施的阻
尼力与速度v呈线性比例关系。

受驱阻尼振子满足方程:
其一般解为两个解的和，一个为暂态解,与初始条件相
关；另一个为稳态解为：
总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率,但
振动与驱动力在相位上有偏移，且振幅大小与驱动频率
相关；当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。

多数谐振子，基本上满足以下的微分方程：
其中t是时间，b是阻尼常数，是本征角频率，而代表驱
动系统的某种事物，其振幅为 ，角频率为ω，x是进行
振荡的被测量量，可以是位置、电流或其他任何可能的
物理量。角频率与频率f有关，关系式为：

一质量为m的质点沿ox轴运动，它所受到的回复力可从势函数的微商得到。势函数为：
力的表达式为：
i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可以写成：
令 ，上式可变为：
其解具有下列形式：
它表示一个正弦运动，其振幅为，相位为，角频率为，相
只与质点的质量m和恢复力常数k有关，而振幅和相位都与
应的频率是：
运动初始条件有关。振子的总能量：
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动能和势能的表达式为：
由上两式可知：当 时，势能有最小值0，而此
时动能具有最大值 ；
而当 时，势能具有最大值 ，
而此时动能值最小为0。
显然总能量在运动中是不变的，即