2024年12月诊断性测试数学试卷.pdf

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
标准学术能力诊断性测试 2024 年 12 月测试
题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得 3分，有错选的得0分.
数学试卷 9． 已知直线lxx yy m: 00+=与圆Cx y:122+=，Px y( , )，则下列判断正确的是
00
A．若点P在圆C上，且直线l与圆C相切，则m=1
本试卷共 150 分
B．若点P在圆C内，且m=1，则直线l与圆C相交
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
C．若my==1, 20 ，则直线l与圆C相交
符合题目要求的．
1． 已知==−集合PQ1, 2, 3, 4 , 2, 2  ，下列结论成立的是 D．若m =0，则直线l截圆C所得弦长为2
A．QP B．PQP= 10．我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相
C．PQQ= D．PQ =2 等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是
2． 已知aR，i为虚数单位，若复数(2i i++)(a )的实部与虚部相等，则a = A．三棱台体不是“刍甍”
A．−3 B．−2 C．2 D．3 B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形
C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍”
3． 已知sin 2sin sin , tan tan 2( ) +==−，则tan(+=)
4 4 D．“刍甍”存在两个互相平行的面
A．− B． C．−2 D．2 *
3 3 11．已知等差数列n的公差为 ，bnn=cos ，数列bn的前n 项和为Sn，SSn= n N ，
2
4． 斜率为 1的直线l经过(1, 0)点，且与抛物线 yx= 4 交于 AB, 两点，则 AB = 若存在 ，使得Sabc= ,, ，则 可能的取值为
1
A．4 B．42 C．8 D．82   2 
A． B． C． D．
5． 已知PA( )、PB( )分别表示随机事件A、B发生的概率，则1−PA B( )是下列哪个事件的 3 2 3

概率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
A．事件A、B同时发生 B．事件A、B至少有一个发生 12．如图所示，在正方形ABCD中，E是 AB的中点，F 在BC上且CF FB=2 ，AF 与DE 交于

C．事件A、B都不发生 D．事件A、B至多有一个发生 点M ，则cos=DMF ． D C
6． 已知01a ，设man==log , log 42 a ，则mn+ 的取值范围为
M F
A．( −−,2 B．−2, 0) C．(0, 2 D．2,+)
A E B
7． 设 fx xx=−3 2，若方程 fx kk( )=( R)有3个不同的根abc,, ，则abc的取值范围为 （第12题图）
( ) ( )
A．(−4, 0) B．(−2, 0) C．(0, 4) D．(0, 2) 13．已知fx x( )=sin ，记函数yfx= ( ) 在闭区间I 上的最大值为MI ．若正数k 满足

8． 已知双曲线的左、右焦点为FF12(−2, 0 , 2, 0) ( )，的一条渐近线为 yx= ，点 P位于第一象 MM0, ,2kkk = 2  ，则k = ．
限且在双曲线上，点M 满足：=⊥FPM MPF MF MP121, ，则 MF MF12+ 的最大值为 14．已知 fx axgx xax( ) e, lnx =−=−( ) ，若对任意+x (0, )，都存在+x (0, )，使得
1 2
A．26 B．42 C． 210+ D．46 fxgx xx( 1212) ( )= ，则实数a的取值范围为 ．


: .

四、解答题：本题共 5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18 17 1
．（ 分）设 fx a x( )=+ln ．
n x
15．（13分）设等差数列an的前 项和为Sn，已知S3 =−15．
（1）当a=1，求函数 yfx= ( )的递减区间；
（1）若a1 =−7，求an的通项公式；
* 2 1 1, 0
（2）若对于任意nN ，都有SS ，求公差d 的取值范围． （ ）求证：函数gx fx a x(=−−−) ( ) ln 2( )的图象关于( )对称；
n 7 x
（3）若当且仅当x(0,1)时， fx x( ) ，求实数a 的取值范围．
16．（15分）如图所示，在四棱锥PABCD− 中，底面 ABCD为平行四边形，点E为棱PD的中点．
（1）设平面 ABE与直线PC相交于点F ，求证：EF 平面 ABCD；
（2）若PD ⊥平面 ABCD，BC CD BCD PD====2, 60 , 2 2，求直线BE与平面PCD 19．（17 分）在直角坐标平面xOy内，对于向量mxy=( , )，记 mxy=+．设abc,, 为直角坐
所成角的大小． 标平面xOy内的向量，a =(1,1)．
（1）若b =−( 1, 2)，求 ab− ；

（2）设b =−−( 1, 1)，若 ca cb−+−=4，求 c 的最大值；

（第16题图） （3）若 bc bc===2, 2，求证：33 3 2623−+−+bc a ．

17．（15 分）某校高一学生共有 500人，年级组长利用数字化学录每位学生每日课后作业
完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：
平均作业时长n（单位：小时） 1,) ,2) 2,) ,3) 3,)
学业成绩优秀：90 100m 1 14 37 43 5
学业成绩不优秀：090m 136 137 102 18 7
（1）试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时
有关？
PBA( )
（2）常用LBA( )= 表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似
PBA( )
然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，现从所有高一学生中任选一人，
A表示“选到的是男生”，表示“选到的学生成绩优秀”，若B LBA( )=，求 PA( )．
n ad bc − 2
=22( ) ,
附： ( ) ．
(abcdacbd++++)( )( )( )


: .

标准学术能力诊断性测试 2024 年 12 月测试
数学 参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D D A C C A C A
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对但不全的得 3 分，有错选的得 0 分．
9 10 11
CD AB ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
2 5
12．− 13． 或 14．(−，0
10 612
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（ 13 分）
解：（1）==−Sa32315，所以a2 =−5 ······································································ 2 分
因为a1 =−7，所以公差d = 2 ······································································ 4 分
得annn 72 1 2 9( =−+−=−) ······································································· 6 分
（2）因为对任意nN*，都有SS ，
n 7
所以SSSS8767, ，得aa870, 0 ·························································· 2 分
由（