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基于APOS理论的向量概念分析
摘要：APOS理论是一种认知心理学理论，它从认知发展的角度来探讨学习数学概念的过程。本文以APOS理论为基础，通过对向量概念进行分析，探讨了学习向量概念的认知过程，并提出了一种基于APOS理论的向量概念教学模型。该模型可以帮助教师更好地指导学生理解和应用向量概念。
关键词：APOS理论、认知发展、向量概念、教学模型
1. 引言
数学是一门抽象的学科，对于许多学生来说，学习数学概念是一项具有挑战性的任务。向量概念作为数学中的重要概念之一，对学生来说常常难以理解和应用。因此，针对向量概念的学习困难，我们可以运用APOS理论来帮助学生理解和应用向量概念。
2. APOS理论的概述
APOS理论由学者Dubinsky于1991年提出，它是一种认知心理学理论，用于解释学习数学概念的认知过程。APOS是指“行为（Action）、过程（Process）、对象（Object）和系统（Schema）”四个阶段。在学习数学概念的过程中，学生首先通过行为阶段进行直观操作，然后逐渐形成认知过程，最后形成对象概念，并将其内化为系统化的思维模式。
3. 向量概念的认知过程
在学习向量概念的过程中，学生通过APOS理论的四个阶段逐渐形成对向量概念的认知。
行为阶段
在向量概念的行为阶段，学生可能会用箭头或直线来表示向量，并将其视为一种物理量。学生可以通过平移、缩放和旋转等行为来操作向量，并根据直观经验来处理向量的运算。
过程阶段
在向量概念的过程阶段，学生开始将向量的运算转化为符号运算，例如使用向量的坐标表示向量的运算。学生通过计算与向量相关的数值来进行向量的加法、减法和数量乘法运算，从而形成了对向量的基本运算规则的理解。
对象阶段
在向量概念的对象阶段，学生逐渐形成了对向量概念的内化。他们可以用向量的坐标、模长和方向来描述向量，并能够将向量应用于几何问题的解决中。学生能够理解向量的加法、减法和数量乘法的几何含义，并能够利用向量进行问题的分析和求解。
系统阶段
在向量概念的系统阶段，学生已经形成了对向量概念的系统化的思维模式，并能够将其应用于更复杂的问题中。学生可以利用向量的性质和运算规则解决几何问题，同时也能够将向量概念与其他数学概念进行关联，例如矩阵、多项式等。
4. 基于APOS理论的向量概念教学模型
基于以上分析，我们提出了一种基于APOS理论的向量概念教学模型。教学模型的具体步骤如下：
激发兴趣阶段
在教学开始前，教师可以通过展示有趣的例子和引发学生的好奇心来激发学生对向量概念的兴趣。
行为阶段
在教学的行为阶段，教师可以引导学生进行具体的向量操作，在关注实际问题的基础上，让学生感受并理解向量的运算过程。
过程阶段
在教学的过程阶段，教师可以引导学生将向量的运算转化为符号运算，并引导学生进行具体的计算操作。
对象阶段
在教学的对象阶段，教师可以引导学生描述向量的性质和运算规则，并通过几何问题的解决来巩固学生对向量概念的理解。
系统阶段
在教学的系统阶段，教师可以帮助学生将向量概念与其他数学概念进行关联，提供更复杂的问题和挑战，以促进学生对向量概念的进一步探索和应用。
5. 结论
本文以APOS理论为基础，对向量概念的认知过程进行了分析，并提出了一种基于APOS理论的向量概念教学模型。该模型可以帮助学生更好地理解和应用向量概念。然而，教学过程中还需要考虑学生的个体差异和学习风格，教师应该灵活运用教学方法，以提高学生对向量概念的理解和应用能力。
参考文献：
1. Dubinsky, E., Dautermann, J., Leron, U., & Zazkis, R. (1994). On learning fundamental concepts of mathematics. In D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 95-123). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
2. Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61(1-2), 103-131.