《高等数学》课件2-1微商的概念.ppt

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2-1 微商的概念
1. 微商的定义
函数的增量：
假定函数 y=f(x) 在点 x 在这邻域内从 变到时 ，
函数y相应地从 变到
，因此函数的对应增量为
o
x
y
y = f(x)
x0
x0+ Δx
f(x0)
Δx
Δy
首先介绍变量的增量概念.
设描述质点运动位置的函数为
计算在时刻 的瞬时速度.
则 到 的平均速度为
而在 时刻的瞬时速度为
自由落体运动
物体沿直线运动的瞬时速度
01
添加你的文本
02
添加你的文本
例：求自由落体运动:
自由落体运动
2. 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当 时)
割线 M N 的斜率
切线 MT 的斜率
瞬时速度
两个问题的共性:
切线斜率
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度
角速度
线密度
电流强度
是速度增量与时间增量之比的极限
是转角增量与时间增量之比的极限
是质量增量与长度增量之比的极限
是电量增量与时间增量之比的极限
变化率问题
定义
说明
表示
单侧导数
在点
的某个右 邻域内
若极限
则称此极限值为
在 处的右 导数,
记作
(左)
(左)
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
即
显然: 函数在一点可导
其左右导数都保存并相等.
例 证明函数
在 x = 0 不可导.
证
在 x = 0 不可导.
所以
导函数
记作:
若在区间(a,b)内每一点x处函数f(x)都可导，则
称f(x)在(a,b) 都对应一个导
数值 ，这样便定义出一个新的函数 ，它被称
为f(x)的导函数.
例1 求函数
(C 为常数) 的导数.
解
简单地说，常函数的导函数为零.
在一个区间内导数恒为0的函数是一个常数函数.
例 2
解
求函数f(x)=sinx的导数.
即