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A题 埃博拉病毒的根除
摘 要
为了根除埃博拉病毒，根据埃博拉病毒的传播率、感染者人数的预测、药物的合理分配和隔离人数的比重，本文运用随机微分方程、产销平衡和最优控制三种算法分别建立了SIR模型、线性规划模型和最优隔离控制模型。这三个模型分别解决了埃博拉病毒的传播规律及感染者人数的预测问题、药物的运输问题和以隔离控制为决定性作用因素的优化问题。
针对模型一：首先通过Excel线性拟合分析埃博拉病毒的传播，得到结论：在没有使用药物治疗时，受埃博拉病毒感染的确诊病例及死亡的人数急剧增长。然后，建立了SIR模型来预测使用药物后的变化趋势，利用Matlab画出的比例曲线，发现病人比例减少。
针对模型二：假设几内亚、利比里亚、塞拉利昂为需求地，美国、中国、日本、俄罗斯、法衡原理，建立了时间优化模型，通过Lingo求得运输到各地用时最短的调运方案为:，美国、日本、，中国、俄国、法国、瑞士运往塞拉利昂共耗时13小时。
针对模型三：本模型基于SIR模型，利用极值原理给出了最优控制的设计方案，把易感染者、染病者、治愈者、隔离者以及总人口数作为初始值代入目标函数，存在一个最优控制因素，再将其对应的状态解代入协态方程，得到最优控制因素，即隔离的确切最优解。
关键字: 埃博拉病毒；SIR；线性规划；产销平衡；Matlab；Lingo
一、 问题重述
根除埃博拉病毒
世界医学协会已经宣布他们的新药物能阻止埃博拉病毒并可治愈那些得非晚期疾病的患者。建立一个可行的，明智的，有用的模型，模型不仅要考虑疾病的蔓延、药物的需求量、可能可行的输送系统、输送的位置、疫苗或药物的生产速度，也要考虑你的团队认为有必要作为模型的一部分来优化根除埃博拉病毒，或者至少解决目前压力的其他重要因素。除了你比赛论文中的建模方法，你还要为世界医学协会在他们的公告中准备使用一封1-2页的非技术性的信。
二、问题分析
本文关于埃博拉病毒的传播、患病人数的预测、药物的需求量、可行的运输系统、疫苗的预防及药物的治疗、气候、车辆、地形等几个方面展开研究和讨论。
模型一主要解决疾病的传播和患病人口的预测问题。考虑到埃博拉病毒的传播速度非常快，通过参考以往传染病的有关文章，本文建立了SIR模型，得到了健康人和患者随时间变化的数量关系方程。为了求解方程，根据收集来自WHO的官方数据，得到2014年11月到2015年5月的确诊病例数和死亡人数，从而得到的两个图形，进而预测未来的患病人数。在此基础上，再解决药物需求量的问题。首先假设埃博拉病毒的传播遵循所建立的模型一，然后将收集到的使用药物治疗后患者人数变化的有关数据进行计算和分析，得到病人数量将会影响药物需求量的结论。
模型二主要解决药物的运输时间及成本问题。由于几内亚、利比里亚和塞拉利昂这三个国家患病人数最多，所以选择这三个国家作为需求地。现在具备疫苗或药物生产能力的国家：美国、中国、日本、俄国、法国和瑞士。本文选择这六个国家作为产地。本模型只考虑在生产地和需求地之间的药物运输。首先保证各国所使用的运输机为同款运输机，在运输过程中，速度均为同等速度。本文将产销平衡模型中的成本替换成运输所用时间，这样成本最低变成时间最短。然后结合模型一中的患病人口预测结果，再加上每个病人对应药量的比例系数，则计算出任意时刻所需要的药物总量。在满足各需求地需求量的前提下，本文再利用线性规划模型得到最优调运方案，即时间优化模型。
模型三在模型一、二、的基础上，分析其他可以消灭埃博拉病毒的决定性因素。首先，本文使用最优隔离控制法，把易感染者、染病者、治愈者、隔离者以及总人口数作为初始值代入目标函数，则会存在一个最优控制因素，再将其对应的状态解代入协态方程，得到最优控制因素，即隔离的确切最优解。然后，本文分别考虑了气候、运输工具、地形三个因素对埃博拉病毒传播的影响，并得出了相应的结果。
三、基本假设与符号说明
（1）埃博拉病毒能够被生物传播，并且当易感者接触患者时，他们被传染；
（2）我们知道的埃博拉病毒有5种，假定每一种埃博拉病毒的传播能力是相同的；
（3）每一个人被治愈的可能性是相同的，并且有相同的免疫力；
（4）被治愈的人不会再次被传染，当患者被治愈后，他们将对于埃博拉病毒有免疫力；
（5）埃博拉病毒的传播遵循所建立的模型一；
（6）当实施药物治疗的时候，不计损失；
（7）药物的运输对药物的需求有影响；
（8）每位感染者的用药量均为一剂量，虽然目前已经研制出应对埃博拉病毒的疫苗或药物，但是不同感染程度的患者所需实际的药剂量数据不易获得；
（9）疫苗与药物的生产地，开始培育的时间以及生产速度均相同，且培养药物和疫苗的周期均为，但两者的作用对象不同，疫苗作用于健康人群，而药物作用于感染者；
（10）各地生产药物的速度相同，每批生产的药量满足前三个国家的需求量；
（11）运输问题中各个产地的产量相同，用来运送药物的飞机类型相同，且保持相同速度行进；
（12）收集到的数据都是真实可靠的；
符号说明
:患者的数量比例；
:健康人的数量比例；
：康复者和死亡者的数量比例；
:死亡率；
：感染率；
：康复率（被隔离的病人治愈率）；
:药物运达需求地点时的感染者人数；
：培育一批药物或疫苗的时间；
：从到运输药物的成本；
：从到的运量；
：环境中的总人口数；
：被隔离患者人数；
：对染病者实施隔离控制的比例；
：出生率=死亡率；
：未被隔离染病者死亡率；
：易感者人数；
：染病者人数；
：病愈者人数；
：不易感病者输入比率；
：没有被隔离治疗者治愈率。
四、模型一的建立及求解
模型一的建立
埃博拉病毒的传播速度非常快，如果想要克服这个难题，并且使用有效的医疗方法根除埃博拉病毒，必须寻找一种科学且有效的方法来掌握埃博拉病毒的传播规律。所以，我们建立了SIR模型来解决这个问题。
根据符号定义，能够得到等式：
⑴
设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为，个发病者平均每天能使个易感者成为病毒潜伏者。所以有：
⑵
单位时间内康复者和死亡者的变化等于发病人群的减少，即
⑶
发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即
⑷
记初始时刻的健康者和患者的比例分别为、（不妨设）。根据SIR模型的准则，得到下列方程组：
⑸
结合⑴式和⑸式，得到
⑹
通过微积分，结合⑵式、⑹式和⑺式，求解方程组，得到
⑺
⑺式阐述了健康人和患者随时间变化的数量关系。
模型一的求解
根据以上分析，得到了分析患者和健康人比例趋势的方法，接下来，求解模型如下：
除了预防措施，没有药物治疗。换句话说，健康人的数量比例是很小的，从网站http://.，数据从2014年11月到2015年5月，每半个月统计一次，。用Excel做线性拟合，得到下图：
图1：确证病例的数量趋势
图2：死亡人数趋势
图1表明确诊病例数量在没有药物治疗的情况下急剧增长，因此，我们得出结论预防措施对患者的数量减少没有效果。
图2表明在没有药物治疗的情况下死亡人数也急剧增长。死亡人数的趋势与确诊病例数量有关，因此，我们得出结论预防措施不能阻止埃博拉病毒的传播。
新药物能阻止埃博拉病毒并治愈那些得非晚期疾病的患者，健康人数的比例将会上升，患者比例将会下降。
根据⑺式，得到图3：
图3：健康人和患者关系曲线
分析上图，当时， 表明且没有使用药物治疗。死亡人数随着时间增长上升，健康人数增加且当时，达到最大值。因此，把代入⑺式，得到
⑻
当时，表明且使用药物治疗。死亡人数不断减少，最终到0；健康人数不断增加，直到达到最优值，最优值为。
通过以上分析，初始时间时，要想得到的表达式，必须先做数值运算。根据世界卫生组织公布的2014年12月到2015年2月埃博拉病毒疫情数据（见附录1），包括日累计确诊病例、日累计治愈病例等，其中缺失的部分数据，通过给定的数据拟合得到。以12月2日为基日，当日累计确诊病例1949例，累计治愈病例534例，故
平均日感染率、平均日康复率和平均日死亡率由每天相应数据平均求得。
将上述计算结果代入⑸式，用Matlab编程（代码见附录2），输出的简明计算结果如表1：
表1 I(t),S(t)的数值计算结果
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
I(t)
S(t)
t
9
10
15
20
25
30
35
40
45
I(t)
S(t)
的两个图形如下：
图4: 的比例
在数值计算和图⑷观察的基础上，得出结论：根据建立的预测模型，使用药物治疗之后，埃博拉病毒将会停止传播，患病者的比例将会减少，几乎为0。
根据假设，能够得出结论：药物的需求量受病人数量的影响。设为药物需求量，为病人数量，易得：
⑼
将收集到的使用药物治疗后患者人数变化的有关数据进行计算和分析，得到表2：
表2 3个月的药物需求量变化
时间（周）
药物需求量（剂）
1
3400
3
3925
5
3139
6
2386
7
1600
9
456
10
182
12
2
从表2可以得出结论：药物的需求量将会减少，当没有埃博拉病毒时，药物的需求量为0。
五、模型二的建立及求解
模型二的建立
在药物或疫苗运输方面，通过建立线性规划模型，在满足各需求地需求量的前提下，制定相应调运方案，将这些物资运到各个需求地，得到运输到各地用时最短的调运方案。考虑到成本问题，仅研究供求相等的情况。
已知有个生产地点，可供应药物，其供应量分别为，由个需求地，其需求量分别为，从到运送药物的单位时间成本为，见表3：
表3 药物运输时间成本表
产地
需求地
产量
需求量
建立如下数学模型：
满足
模型二的求解
设分别代表几内亚、利比里亚以及塞拉利昂；分别代表能够生产药物的美国、中国、日本、俄罗斯、法国以及瑞士。
根据网站http://.，确定各个国家药物需求量: , 那么。
通过产地与需求地的距离，计算时间成本，得到表4：
表4 运输药物时间成本表
产地
需求地
产量
几内亚
利比里亚
塞拉利昂
美 国
4678
中 国
13
4678
日 本
4678
俄 国
4678
法 国
4678
瑞 士
4678
需求量
3793
10666
13609
28067
把数据带入上述模型，可以得到：
满足
利用Lingo软件确定出各个产地运往不同需求地的药物量，然后得到最优调运方案，结果如表5：
表5 各地药物需求分配表
产 地
需 求 地
几内亚
利比里亚
塞拉利昂
美 国
0
4678
0
中 国
0
0
4678
日 本
0
4677
0
俄 国
0
1311
3367
法 国
0
0
4678
瑞 士
3792
0
886
从表3表4筛选出运输到各地用时最短的调运方案为:瑞士运往几内亚3792剂药物，；美国运往利比里亚4678剂药物，日本运往利比里亚4677剂药物，俄国运往利比里亚1311剂药物，；中国运往塞拉利昂4678剂药物，俄国运往塞拉利昂3367剂药物，法国运往塞拉利昂4678剂药物，瑞士运往塞拉利昂886剂药物，共耗时13小时。
六、模型三的建立及求解
尽管以上两个模型基于收集到的数据，能够反映埃博拉病毒的传播趋势，但是它们都只是片面的。实际上，有很多潜在的因素可能影响模型的变化，从以下四个方面考虑：疫苗的预防及药物的治疗、气候、运输工具、地形。
疫苗的预防及药物的治疗（最优隔离控制法）
控制传染病最好的方法是隔离控制，下图为加入被隔离染病者舱室的舱室图：
图5：加入隔离后的舱室转移图
通过模型的稳定性分析，可以知道要想消除疾病必须得隔断染病者输入，这也是当传染病暴发时，政府控制染病者流动的原因，所以假设在模型的输入输出中没有染病者。
于是可以建立如下的微分代数系统：
式中表示易感者，染病者和治愈者的输入率。
系统的初始值给定。
考虑到如何实施控制方案才能保证疾病大规模爆发的同时，要使付出的各种代价（包括政治代价、政策代价、经济代价等）达到最小，采用这样的性能指标，其中为末端时刻，此性能指标考虑了染病者人数和实际隔离控制所付出的代价。事实上，在整个时间段上采用最大强度的隔离控制必然会使染病者数量减小，然而任何控制都是有代价的，所以实施隔离控制的代价应该在性能指标中考虑到，性能指标中的 和分别是相应的权重，表示对应的代价的重要程度。
目标是寻找最优控制使得
其中，是关于的函数，控制约束集合为指定常数。
对于初值已给定的系统，给定目标函数：
存在一个最优控制，使得。
极值原理给出了最优控制的必要条件，将最优控制问题转化为最小化的哈密顿函数问题，状态方程的不同以及终端条件的不同，都会使得横截条件发生变化。下面应用极值原理求解最优控制律。
将本文所讨论的最优控制问题转化为最小化哈密顿函数问题：
设，其中是第个系统状态方程的右端，是协态变量，如果是上面系统的最优控制，是相应的状态解，那么存在协态变量使得：
协态方程：
横截条件和最优控制
疾病区域的气候可能促进或抑制埃博拉病毒的传播。因为每一个国家有不同的气候，所以患者的数量也因此不同。例如，受埃博拉病毒主要影响的国家几内亚的气候是炎热且潮湿的，从而有助于病毒的生长。根据不同疾病区域的气候，能够得到各个国家的权重，见表6：
表6 不同疾病区域的气候及权重
国家
气候
权重
几内亚
炎热、潮湿
利比里亚
炎热、很潮湿
塞拉利昂
炎热、很潮湿
马里
炎热、干燥
尼日利亚
炎热
由表6可知，埃博拉病毒的传播在不同国家因气候的不同而不同。
模型三的建立中，对于输送位置和合理的运输方案的选择，只考虑了时间最短，忽视了运输工具的选择。根据WHO的数据，这些国家有公路和铁路，在埃博拉病毒治疗中心的周围有公路和铁路，铁路运输的运输容量比公路运输好。
当埃博拉病毒传播迅猛时，要根据当地的情况，安排最快的交通工具到疾病感染区，所以采取优先分配原则满足不同地区的需要，然而效率可能受地形的影响，铁路不受地形影响，但公路受地形的影响情况却很复杂，根据地形对效率的影响将地形分为三个等级，见表7：
表7 道路的不同等级状况
等级
权重
平坦
略平坦
陡峭
八、模型的评价及推广
（1）模型的优点
模型一可以有效的预测埃博拉病毒传播过程的特点,同时分析了感病人数和健康人数的比例变化趋势,有利于医疗人员采取一些措施来抑制病毒的蔓延。
模型二解决了药物的运输和成本问题,使药物能以最快的时间送达感病国家,。
模型三
（2）模型的缺点
模型一中的数据不够完善,使模型存在局部的缺陷
模型二若考虑其它因素的影响,数据可能存在波动性,将影响药物的供需平衡.
模型三
（3）模型的改进和推广
九、参考文献
十、附录
附录1：模型一中所用的数据
日期
确诊病例
治愈人数
死亡人数
新增病例
新增治愈人数
感染率
日治愈
新增死亡人数
死亡率
1949
534
1139
1956
536
1151
7
2
12
2035
558
1192
79
22
41
2051
562
1207
16
4
15
2081
570
1225
30
8
18
2096
574
1233
15
4
8
2115
580
1255
19
5
22
2127
583
1262
12
3
7
2164
593
1287
37
10
25
2259
619
1323
95
26
36
.
2284
626
1344
25
7
21
2342
642
1385
58
16
41
2384
653
1422
42
12
37
2397
657
1433
13
4
11
2435
667
1463
38
10
30
2465
675
1488
30
8
25
2471
677
1499
6
2
11
2477
679
1504
6
2
5
2493
683
1515
16
4
11
2508
687
1523
15
4
8
2514
689
1530
6
2
7
2522
691
1537
8
2
7
2525
692
1541
3
14
4
2539
696
1556
14
0
15
2539
696
1557
0
1
1
2542
697
1560
3
1
3
2545
697
1561
3
4
1
2559
701
1574
14
3
13
2569
704
1578
10
1
4
2571
704
1579
2
1
1
2575
706
1581
4
5
2
2593
710
1595
18
4
14
2608
715
1597
15
4
2
2621
718
1600
13
2
3
2628
710
1608
7
1
8
2671
732
1640
43
2
32
2674
733
1643
3
1
3
2685
736
1651
11
3
8
2693
738
1659
8
2
8
2720
745
1678
27
7
19
2727
747
1683
7
2
5
2732
749
1686
5
1
3
2734
749
1688
2
1
2
2758
756
1699
24
7
11
2762
757
1704
4
1
5
2790
764
1721
28
8
17
2808
769
1735
18
5
14
附录2：模型一的Matlab代码
y=ill(t,x)
a=;b=;c=;
y=[a*x(1)*x(2)-(b+c)*x(1);-a*x(1)*x(2)];
ts=0:50;
x0=[,];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);[t,x]
plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,
ans =
0
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