概率计算方法.docx

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在课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率局部的考察，表达了“学以致用” 这一理念. 计算简洁大事发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:

P( 随机大事 )= 随机大事可能消灭的结果数 .其中 P( 必定大事 )=1,P 〔不行能大事〕
随机大事全部可能消灭的结果数
1
2
3
4
5
6
=0 ； 0<P( 随机大事 )<1.
例 1 (07 河 北 ) 图 1 中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的反面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为
． 图 1
解析: 此题考察用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，一共有 6 种可能的翻牌结果,其中
6
2 1
有 2 种为中奖,所以P( 中奖)= = 3 .
说明: 此题承受了一种较为好玩的试题背景，重在考察学生对概率模型的理解、以及对随机大事发生概率值的计算.

2
例 2 如图 2 是地板格的一局部，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，假设它随便停留在某一个地方，则它停留在阴影局部的概率是 .
解析：由于四块地板的面积各不一样，故应分别求出阴影局部的面积为
2×1+2×3=8，总面积为：2×1+2×2+2×3+1×5=17，面积之比即为所
8
求概率. 所以 P( 随便停留在阴影局部)=
17 .
1 2 3
评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关 ,大事发生的概率等 图 2
于此大事全部可能结果所组成的图形面积除以全部可能结果组成的图形的面积.

例 3 不透亮的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球〔除颜色外其余都一样〕，其中白
1
球有 2 个，黄球有 1 个，现从中任意摸出一个是白球的概率为 .
2
试求袋中蓝球的个数.
第一次任意摸一个球〔不放回〕，其次次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率.
解析：⑴设蓝球个数为x 个 .
2 1
由题意得 2 + 1 + x = 2
答：蓝球有 1 个
〔2〕树状图如下：
∴x=1

白1 白2 黄 蓝
∴ 两次摸到都是白
白2 黄 蓝
白1 黄 蓝
白1 白2 蓝
白1 白2 黄
球的概率 = 2
12
= 1 .
6
说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是时机均等的. 此题是考察用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把全部可能的结果都一一排列出来,便于计算结果.

例 4 (07 山西)如图 3，有四张编号为 1，2，3，4 的卡片，卡片的反面完全一样．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．
从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？
从四张卡片中随机抽取一张贴在如图 4 所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．
1 2 3
图 3 图 4
2 1
解析:(1)所求概率是 4 = 2 .
解法一(树形图):
第一次抽取
1
2
3
4
其次次抽取
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1 2
3
共有 12 种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4),(2,1), (2,3), (2,4), (3,1),(3,2), (3,4),
(4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率 1
2 1
是12 = 6 .
解法二(列表法):
1
2
3
4
第 2 次摸出 1 张
1
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
第 1 次摸出 1 张
共有 12 种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4),(2,1), (2,3), (2,4), (3,1),(3,2), (3,4),
(4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率 1
2 1
是12 = 6 .
评注:此题考察学生对用树状图或列表法求概率的把握状况,用树状图法或列表法列举出的 结果一目了然,当大事要经过屡次步骤〔三步以上)完成时,用这两种方法求大事的概率很有
效.
概率计算
一个 20 面体,每个面都是等边三角形 ,假设截去全部的顶角 ,它将成为多少面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？
4 面体将由 4 面变成 8 面；由 4 个顶点变成 12 个顶点；由 6 条棱变成 18 条棱。
6 面体将由 6 面变成 14 面；由 8 个顶点变成 32 个顶点；由 12 条棱变成 36 条棱。面： 20+12=32
顶点 12 变 12×3=36
棱： 30 变 12×3+30=66
上面的计算方法不对吧，参考以下计算：
面
顶点
体
4 2*〔4-2〕=4
5 2*〔5-2〕=6
6 2*〔6-2〕=8
2*〔7-2〕=1
7
0
2*〔8-2〕=1
8
2
n 2*〔n-2〕 2*〔20-2〕=
20
36

条棱
3*〔4-2〕=6
3*〔5-2〕=9
3*〔6-2〕=1
2
3*〔7-2〕=1
5
3*〔8-2〕=1
8
3*〔n-2〕
3*〔20-2〕=
54
每截去一个顶角〔顶角数量 =顶点数量〕，增加一个面；
一个 20 面体截去全部顶角〔顶角数量 =顶点数量〕，即增加 36 个面；
面体
顶点
条棱
20+36=
56
2*〔56-2〕=1
08
3*〔56-2〕=1
62
全概率公式
即例已如某大事 A 是有 B,C,D 三种因素造成的，求这一大事发生的概率
p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)
其中 p(A/B) 叫条件概率，即：在 B 发生的状况下， A 发生的概率柏努力公式
是用以求某大事已经发生，求其是哪种因素的概率造成的
好以上例中 A 大事发生了， 用柏努力公式可以求得是 B 因素造成的概率是多大， C 因素， D 因素同样也求．
古典概型
几何概型条件概率
P〔A〕=A 包含的根本大事数 /根本大事总数
P(A)=A 面积/总的面积
P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB
包含的根本大事数 /B 包含的根本大事
数
相对独立大事
独立重复大事
P(A*B)=P(A)*P(B)
大事 A 发生与大事 B 的发生没有关系
P=C(n,k)P(k 次方)(1-p)(n-k 次方)
【本讲教育信息】一. 教学内容：
概率计算
古典概型
A、B 互斥，则
∴
A 的对立大事，
A、B 独立，则
二. 重点、难点：
【典型例题】
[例 1] 从 5 双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。
[例 2] 4 封不同的信，随机投入 3 个信箱，试求三个信箱均不空的概率。
[例 3] 某袋中有大小一样的红球 2 个，白球 4 个。
甲每次取一个不放回，恰在第k 次取得红球的概率。
甲一次取两个同色的概率。
甲每次取一个不放回，在第三次首次取到红球的概率。
[例 4] 从 52 张扑克牌中任取 5 张。
〔1〕5 张同花的概率；
〔2〕5 张顺子的概率；
〔3〕5 张同花顺的概率；
〔4〕5 张中有四张点数一样的概率；
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
〔5〕5 张中有花色齐全的概率。解：
[例 5] 〔1〕掷一枚骰子三次之和为 10 的概率。解：有序，全部可能
满足条件
∴
∴
同上
〔2〕掷三枚骰子，三枚骰子之和为10 的概率。
[例 6] 10 个外表一样的小球，其中 8 个为a 克，2 个为 b 克
，现从 10 球中取 3 个
放在一端，再从余下的 7 个中取 3 个放在另一端，则天平平衡的概率是多少？
解：总数
平衡：①
②
∴
[例 7] 有三个电器件T 、T 、T 正常工作的概率分别为 ，，，将其中某两个并联
后再与第三个串联，求使电路不发生故障的概率最大值。
A. T T 并联 B. T T 并联 C. T T 并联
1 2 2 3 1 3
∴
1 2 3
∴ T T 并联，再与T 串联，不发生故障概率最大。
1 2 3
[例 8] 某射击手，，他连续射击三次。
全部击中的概率
击中目标的概率
恰有一次击中目标的概率
解：三次射击击中的大事依次为A 、A 、A
1 2 3
〔1〕
〔2〕 均不击中
〔3〕
∴
[例 9] 如下图，为某电路图方框内数字表示该处元件烧断的概率，假设各元件正常工作， 相互独立，求接入电路后，电路导通的概率。
[例 10] 设甲、乙、，，，三人各向目标射击一次。
至少有 1 人命中的概率；
〔1〕
〔2〕
恰有 2 人命中的概率。解：
[例 11] 一汽车前进途中要经过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 ，遇到红灯
的概率为 ，假定汽车只有遇到红灯或到达目的地才停顿。求停车时最多已通过3 个路口
的概率。
解：
[例 12] 现有
个牢靠度为P〔
〕的电子元件其接入方式如图
解：
令
， ∴
∴ 方式 更牢靠
试推断哪一种更牢靠
【模拟试题】
从数字 1，2，3，4，5 中随机抽取 3 个数〔允许重复〕组成一个三位数，其各位数字之和为 9 的概率是〔 〕
B. C. D.
从 1，2，……9 过九个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数和为偶数的概率是
〔 〕
B. C. D.
某校高三年级进展一次演讲赛共有10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二班有 2 位，其它班有 5 位，假设承受抽签的方式确定他们的演讲挨次，则一班有 3 位同学恰好被排在一起〔指演讲序号相连〕，而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为〔 〕
B. C. D.
盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都一样且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第 3 次才取得卡口灯泡的概率为〔 〕
B. C. D.
某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成现从中选出 2 人担当正副班长，其中至少有一名女生中选的概率是〔 〕
B. C. D.
口袋内装有 10 个一样的球，其中 5 个标有 0，5 个标有 1，假设从换出 5 个球，五个球数字之和小于 2 或大于 3 的概率是〔 〕
A. ， B. ， C. ， D.
，
从 1、2、3……9 中任取 2 数。
均为奇数的概率？
和为偶数的概率？
积为偶数的概率？
a、b、c ，任取满足条件的一组a、b、c，恰成等差数列的概率是多少？
甲、乙进展乒乓球竞赛，，，竞赛可承受三局二胜制，或五局三胜制。试问哪一种制度下，甲获胜的可能性大。
概率计算公式
罐中有 12 粒围棋子，其中 8 粒白子，4 粒黑子，从中任取 3 粒，求取到的都是白子的概率是多少？
12 粒围棋子从中任取 3 粒的总数是C(12,3) 取到 3 粒的都是白子的状况是C(8,3)
∴概率
C(8,3)
P=——————=14/55
C(12,3)
附：排列、组合公式
排列：从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素，依据肯定的挨次排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的排列。
排列数：从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的全部排列的个数，叫做从n 个不同元素中
取出 m 个元素的排列数，记为Anm
排列公式：A(n,m)=n*(n-1)*. (n-m+1)
A(n,m)=n!/(n-m)!
组合：从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。
组合数：从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的全部组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记为Cnm
组合公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!*(n-m)!)
C(n,m)=C(n,n-m)