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= v cos 60o = 4m/s 从 C 到 D 的过程中，依据能量守恒定律 1 E = m mgx + mv2 C、D 两点间的距离 p 2 D x = 2m 如图，在竖直平面内，半径 R= 的光滑圆弧轨道 ABC 与粗糙的足够长斜面 CD 相切于 C 点，CD 与水平面的夹角 θ=37°，B 是轨道最低点，其最大承受力 Fm=21N，过 A 点的切线沿竖直方向。现有一质量 m= 的小物块，从 A 点正上方的 P 点由静止落下。物 块与斜面之间的动摩擦因数 μ= sin37°=°=，g=10m/s2，不计空气阻力。 为保证轨道不会被破坏，求 P、A 间的最大高度差 H 及物块能沿斜面上滑的最大距离 L； 假设 P、A 间的高度差 h=，求系统最终因摩擦所产生的总热量Q。 【答案】(1) ，；(2) 4J 【解析】 【详解】 B (1)设物块在 B 点的最大速度为 v ，由牛顿其次定律得： v2 从 P 到Ｂ，由动能定理得 F - mg = m B m R 1 mg(H + R) = 解得 mv2 - 0 2 B H= 物块从 B 点运动到斜面最高处的过程中，依据动能定理得： -mg[R〔1-cos37°〕+Lsin37°]-μmgcos37°•L= 0 - 解得
1 mv2 2 B L= (3)物块在斜面上，由于 mgsin37°＞μmgcos37°，物块不会停在斜面上，物块最终以B 点为中心，C 点为最高点沿圆弧轨道做往复运动，由功能关系得系统最终因摩擦所产生的总热量 Q=mg〔h+Rcos37°〕 解得 Q=4J 1 如下图，半径为 R1＝ m 的 4 光滑圆弧与半径为 R2＝ m 的半圆光滑细管平滑连 2 1 接并固定，光滑水平地面上紧靠管口有一长度为L＝ m、质量为 M＝ kg 的木板，木板上外表正好与管口底部相切，处在同一水平线上，木板的左方有一足够长的台阶，其高度正好与木板一样．现在让质量为 m ＝2 kg 的物块静止于 B 处，质量为 m ＝1 kg 的物块从光滑圆弧顶部的 A 处由静止释放，物块 m1 下滑至 B 处和 m2 碰撞后不再分开，整体设为 1 2 物块 m(m＝m ＋m )．物块 m 穿过半圆管底部 C 处滑上木板使其从静止开头向左运动，当 木板速度为 2 m/s 时，木板与台阶碰撞马上被粘住(即速度变为零)，假设 g＝10 m/s2，物块碰撞前后均可视为质点，圆管粗细不计． 求物块 m1 和 m2 碰撞过程中损失的机械能； 求物块 m 滑到半圆管底部 C 处时所受支持力大小； 假设物块 m 与木板及台阶外表间的动摩擦因数均为μ＝，求物块 m 在台阶外表上滑行的最大距离． 【答案】⑴12J ⑵190N ⑶ 【解析】 试题分析：〔1〕选由机械能守恒求出物块m 1 下滑到B 点时的速度； m 、 m 1 2 碰撞满足动 1 1 量守恒，由 E = m v2 - mv2 求出碰撞过程中损失的机械能；〔2〕物块 m 由 B 到 C 机 2 1 B 2 共 满足机械能守恒，在 C 点由牛顿其次定律可求出物块 m 滑到半圆管底部 C 处时所受支持力大小；〔3〕依据动量守恒定律和动能定理列式即可求解. ⑴设物块m 1 下滑到B 点时的速度为v ，由机械能守恒可得： B m gR = 1 m v2 1 1 2 1 B 解得： v = 6m / s B m 、 m 1 2 碰撞满足动量守恒： m v 1 B = (m 1 m )v 2 共 解得； v共 = 2m / s 1 1 则碰撞过程中损失的机械能为： E = m v2 - mv2 = 12J 机 2 1 B 2 共 1 1 ⑵物块m 由 B 到 C 满足机械能守恒： mv2 mg ´ 2R = mv2 解得： v C
= 4m / s 2 共 2 2 C v2 在 C 处由牛顿其次运动定律可得： F N mg = m C R 2 解得： F N = 190 N 1 ⑶设物块m 滑上木板后，当木板速度为v = 2m / s 时，物块速度为v ， 2 由动量守恒定律得： mv C = mv 1 Mv 2 解得： v 1 = 3m / s 设在此过程中物块运动的位移为x 1 1 ，木板运动的位移为 x 2 ，由动能定理得： 对物块m： -m mgx = 1 mv2 - mv2 解得： x 1 1 2 1 2 C = 1 对木板M： m mgx 2 解得： x = 2 = Mv2 2 2 此时木板静止，物块m 到木板左端的距离为： x 3 = L + x - x 2 1 = 1m 设物块m 在台阶上运动的最大距离为x4，由动能定理得： 1 -m mg (x + x ) = 0 - mv2 3 4 2 1 解得： x = 4 如下图，倾角为 θ=45°的粗糙平直导轨与半径为 R 的光滑圆环轨道相切，切点为B， 整个轨道处在竖直平面内．一质量为m 的小滑块从导轨上离地面高为 h=3R 的 D 水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O 等高的P 点，不计空气阻力. 求：〔1〕滑块运动到圆环最高点C 时的速度的大小； 滑块运动到圆环最低点时对圆环轨道压力的大小； 滑块在斜面轨道 BD 间运动的过程中抑制摩擦力做的功． 1 【答案】〔1〕 Rg 〔2〕 6mg 〔3〕 2 mgR 【解析】 【分析】 〔1〕小滑块从C 点飞出来做平抛运动，水平速度为v0 ，竖直方向上： ，水平方 【详解】 向上： ，解得 小滑块在最低点时速度为vC 由机械能守恒定律得 牛顿其次定律： 由牛顿第三定律得： ，方向竖直向 下 h=3R 1 从D 到最低点过程中，设 DB 过程中抑制摩擦力做功W ，由动能定理 【点睛】 对滑块进展运动过程分析，要求滑块运动到圆环最低点时对圆环轨道压力的大小，我们要 知道滑块运动到圆环最低点时的速度大小，小滑块从圆环最高点C 水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O 等高的P 点，运用平抛运动规律结合几何关系求出最低点时速度．在对最低点运用牛顿其次定律求解． 如下图，质量 m=2kg 的小物块从倾角 θ=37°的光滑斜面上的 A 点由静止开头下滑，经过 B 点后进入粗糙水平面， AB 长度为 3m，斜面末端 B 处与粗糙水平面平滑连接．试求： 小物块滑到 B 点时的速度大小． 假设小物块从 A 点开头运动到 C 点停下，一共经受时间 t=，求 BC 的距离． 上问中，小物块与水平面的动摩擦因数μ 多大？ 假设在小物块上始终施加一个水平向左的恒力F，小物块从 A 点由静止动身，沿 ABC 路径运动到 C 点左侧 处的 D 点停下．求 F 的大小．〔sin37°=，cos37°= 〕 【答案】〔1〕6m/s〔2〕 〔3〕 m = 〔4〕 F = 【解析】 【详解】 依据机械能守恒得： 解得：
mgs AB
sin 37° =
mv2 B 2gs sin37 ° AB v = = 2´10´ 3´ = 6m/s ； B 物块在斜面上的加速度为： 在斜面上有：
a = g sinq = 6m/s2 1 1 s = a t 2 代入数据解得： 物块在 BC 段的运动时间为： AB 2 1 t = 1s 1 BC 段的位移为： t = t - t 2 1 = 〔3〕在水平面上，有： s = 1 (v BC 2 B + 0)t 2 = 解得： 0﹣v B -v = a t 2 2 依据牛顿其次定律有： a = B = -4m/s2 ． 2 t 2 代入数据解得： ﹣m mg = ma 2 m = ． (4)从 A 到 D 的过程，依据动能定理得： 代入数据解得： mgs AB sinq + F (s BD s cosq)- mmgs = 0 AB BD F = 【点睛】 连接牛顿其次定律与运动学公式的纽带就是加速度，所以在做这一类问题时，特别又是多过程问题时，先弄清楚每个过程中的运动性质，依据牛顿其次定律求加速度然后依据加速度用运动学公式解题或者依据运动学公式求解加速度然后依据加速度利用牛顿其次定律求解力. 夏天到了，水上滑梯是人们很宠爱的一个工程，它可简化成如下图的模型：倾角为θ ＝37°斜滑道 AB 和水平滑道 BC 平滑连接〔设经过B 点前后速度大小不变〕，起点A 距水面的高度H＝，BC 长 d＝，端点 C 距水面的高度 h＝．一质量 m＝60kg 的人从滑道起点A 点无初速地自由滑下，人与 AB、BC 间的动摩擦因数均为μ＝．〔取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝，cos37°＝，人在运动过程中可视为质点〕，求： 人从A 滑到C 的过程中抑制摩擦力所做的功W 和到达C 点时速度的大小υ； 保持水平滑道端点在同一竖直线上，调整水平滑道高度h 和长度 d 到图中 B′C′位置时，人从滑梯平抛到水面的水平位移最大，则此时滑道B′C′距水面的高度 h′． 5 【答案】(1) 1200J ； 4 【解析】 【详解】 m/s (2) 当 h＇＝ 时，水平位移最大 运发动从 A 滑到 C 的过程中，抑制摩擦力做功为： W = f s 1 1 m mgd 1 f =mmgcosq s1= 解得 H - h sinq W＝1200J 1 得运发动滑到 C 点时速度的大小 mg〔H－h〕－W＝ 2 mv2 5 v＝ 4 m/s 在从 C 点滑出至落到水面的过程中，运发动做平抛运动的时间为t， 1 h＇＝ 2 gt2 下滑过程中抑制摩擦做功保持不变 W＝1200J 依据动能定理得： 1 0 mg〔H－h＇〕－W＝ 2 mv 2 运发动在水平方向的位移：
x＝v0t x= 4h ”(5 h ”) 当 h＇＝ 时，水平位移最大. 如下图，一长度 LAB=4．98m，倾角 θ=30°的光滑斜面 AB 和一固定粗糙水平台 BC 平滑连接，水平台长度 LBC=0．4m，离地面高度 H=1．4m，在 C 处有一挡板，小物块与挡板碰撞后原速率反弹，下方有一半球体与水平台相切，整个轨道处于竖直平面内。在斜面顶端 A 处静止释放质量为 m=“2kg“ 的小物块〔可视为质点〕，无视空气阻力，小物块与BC 间的动摩擦因素 μ=0．1，g 取 10m/s2。问： 小物块第一次与挡板碰撞前的速度大小； 小物块经过B 点多少次停下来，在 BC 上运动的总路程为多少； 〕 某一次小物块与挡板碰撞反弹后拿走挡板，最终小物块落在D 点，半球体半径r=0．75m，OD 与水平面夹角为 α=53°，求小物块与挡板第几次碰撞后拿走挡板？〔取 【答案】〔1〕7 m/s；〔2〕63 次 24．9m〔3〕25 次 【解析】 试题分析：小物块从开头运动到与挡板碰撞，重力、摩擦力做功，运用动能定理。求小物块经过B 点多少次停下来，需要依据功能转化或动能定理求出小物块运动的路程，计算出经过B 点多少次。小物块经过平抛运动到达D 点，可以求出平抛时的初速度，进而求出在BC 段上运动的距离以及和当班碰撞的次数。 mgsin - LAB= mv2 从A 到C 段运用动能定理 v=7m/s 从开头到最终停下在 BC 段所经过的路程为x =31．1 mgsin LAB- x=24．9m mgx=0 经过 AB 的次数为 31 2+1=63 次 H -r = gt2 设小物块平抛时的初速度为V0 r+ v0=3 m/s =v0t mv2- mv0 =2 2 Lbcn 设第 n 次后取走挡板 n=25 次 考点：动能定理、平抛运动 【名师点睛】解决此题的关键一是要会依据平抛运动的规律求出落到D 时平抛运动的初速度；再一个简洁消灭错误的选项是在 BC 段运动的路程与经过B 点次数的关系，需要认真确定。依据功能关系求出在 BC 段运动的路程。 如下图在竖直平面内，光滑曲面AB 与长度 l=3m 的水平传送带 BC 平滑连接于 B 点， 传送带 BC 右端连接内壁光滑、半径 r= 的四分之一细圆管 CD，圆管内径略大于物块尺寸，管口 D 端正下方直立一根劲度系数为 k=50N/m 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口 D 端平齐．一个质量为 m= 的物块〔可视为质点〕从曲面上 P 点静止释放， P 点距 BC 的高度为 h=．〔弹簧的弹性势能 Ep 与弹簧的劲度系数 k 和形变量 x 的 1 关系是：Ep= 2 kx2，水平传送带与物间的动摩擦因数 μ=，重力加速度 g 取 10m/s2．〕 求： 假设传送带静止不动物块在水平传送带BC 上前进的距离； 假设传送带向右匀速运动的速度 v0=2m/s，物块刚进入细圆管 CD 时对管道的弹力，物块在压缩弹簧过程中的最大速度〔压缩弹簧过程未超过弹性限度〕； 假设传送带向右匀速运动的速度 v0=2m/s，物块从第一次进入细圆管后将做周期性的运动．由于物块与传送带发生相对运动，一个周期内带动传送带的电动机多消耗的电能． 【答案】〔1〕2m〔2〕4m/s〔3〕4J 【解析】 【分析】 【详解】 物块从 P 点静止释放到停在传送带某处的过程中，依据动能定理得mgh-μmgx=0-0 解得 x =2m； 假设传送带向右匀速运动的速度 v0=2m/s，由于传送带长度 l=3m 大于 2m，所以物块到达 C 点的速度 vC=2m/s v2 物块经过管道 C 点，依据牛顿其次定律得 mg-N=m C r 15 解得，管道对物块的弹力 N= 11 N≈，方向竖直向上 依据牛顿第三定律得知，物块对管道的弹力大小N′=N≈，方向竖直向下． 物块从 C 点运动到速度最大的过程，依据平衡条件得mg =kx′ 得 x′= 1 1 1 由动能定理得 mg(r+x′)- kx ”2= mv2 - mv2
2 2 解得，最大速度 vm=4m/s m 2 C 物块再次回到 C 点的速度仍为 2m/s，它在传送带上先向左匀减速运动到速度为零， 再向右匀加速运动至 C 点，速度大小仍为 2m/s，因此，电动机多消耗的电能即为物块与传送带之间的摩擦生热. v2 物块向左减速的位移 x1= 2mCg 22 = 2´ ´10 = v0 物块与传送带间的相对位移△x1=x1+v0• m g 解得△x1= v2 物块向右加速运动的位移 x2= 2mCg
= v 物块与传送带间的相对位移△x =v • 0 -x = 2 0 m g 2 2 因此，一个周期内带动传送带的电动机多消耗的电能是E=μmg(△x1+△x ) 解得:E =4J 雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关，雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g； 质量为 m 的雨滴由静止开头，下落高度 h 时速度为 u，求这一过程中空气阻力所做的功 W． 争论小组同学观看觉察，下雨时雨滴的速度跟雨滴大小有关，较大的雨滴落地速度较快，假设将雨滴看作密度为 ρ 的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力大小为f=kr2v2，其中 v 是雨滴的速度，k 是比例常数，r 是球体半径． 某次下雨时，争论小组成员测得雨滴落地时的速度约为v0，试计算本场雨中雨滴半径 r
