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二、地图投影的变形
由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无论采用什么投影方法，投影后经纬网的形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须了解投影后产生的变形，所以投影变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。
（一）投影变形的性质
（二）变形椭圆
为更好地说明地图投影的变形特征，特引
入变形椭圆的概念。
变形椭圆——取地面上一个微分圆（微分圆的面积要足够小，小到可以忽视地球曲面的影响，即可将它作为平面看待），将这样一个微分圆投影后变为椭圆，通过研究其在投影平面上的变化，作为地图投影变形的几何解释。
设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为
x2+y2=1
o’为o的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是M（x,y）的投影，令主方向长度比为a和b，则:
x’/x= a, y’/y= b
则:x =x’/a, y =y’/b
(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得
(x/a)2+(y/b)2=1
这是一个椭圆方程，这表明该微小圆投影后为长半径为a短半径为b的椭圆，这种椭圆可以用来表示投影后的变形，故叫做变形椭圆。
M
M
投影变形的相关概念
长度比和长度变形
设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds’,如图所示。
ds ds’
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：
μ=ds’/ds
长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。
通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比 m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：
m2+n2=a2+b2
m·n·sinθ=a·b
用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度比（μ）与1之差，用v表示长度变形则：vμ=μ-1
由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。
2)主方向
由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，过o作两条垂线ac和 bd，投影后为a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc为直角，投影后分别为钝角a’o’b’和锐角b’o’c’。
a
b
c
d
a’
o
o’
b’
c’
d’
设想ac、bd二垂线相对位置保持不变，并绕o点顺时针旋转，当旋转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的钝角转变成锐角；同样的，直角boc转到了cob的位置，它的投影由原来的锐角变为钝角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。
a
b
c
d
a’
o
o’
b’
c’
d’
在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为b<μ<a;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。
面积比与面积变形
投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=π12为例，以P表示面积比，则:
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若经纬线方向不是主方向时，则面积比:
P=mn
面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。
Vp=p-1
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面积比与1之差，以Vp表示。
P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)
上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时：
P=dF’/dF=abπ/π12=ab
角度变形
投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。
[公式验证]:
见教材。
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