复变函数的极限与连续.ppt

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复变函数的极限和连续性
定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0<|z-z0|<r内, 如果有一确定的数A存在, 对于任意给定的e >0, 相应地必有一正数d (e) (0 <d ), 使得当 0 <|z-z0|<d 时有| f (z)-A |<e ,则称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作
1
或记作当 zz0 时 , f (z)A.
2
几何意义:
x
y
O
z0
d
z
O
u
v
A
e
f(z)
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则
运算性质：
当 z0 时的极限不存在
例1 证明函数
[证] 令 z = x + i y, 则
由此得
让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有
故极限不存在.
2. 函数的连续性定义
则说 f (z)在 z0 处连续. 如果 f (z) 在区域D内处处连续, 我们说 f (z) 在D内连续.
函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续.
性质：
(1)连续函数的四则运算仍然连续；
(2)连续函数的复合函数仍然连续；
(3)连续函数的模也连续；
(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模
在D上取到最大值与最小值;
(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.
例题1 讨论
的连续性。
x
0
0
例2 讨论
解：
的连续性。