辽宁省辽南协作体2025学年高二上学期期中考试数学试题(A)(含答.docx

该【辽宁省辽南协作体2025学年高二上学期期中考试数学试题(A)(含答 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【28】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【辽宁省辽南协作体2025学年高二上学期期中考试数学试题(A)(含答 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。- 2 -
辽宁省辽南协作体2025学年高二上学期期中考试数学试题(A)(含答
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
(1)在数学的海洋中，函数解析式是探索问题的一把利器。设函数f(x)=3x^2-4x+1，要求求出其导数f'(x)。首先，我们需要运用导数的定义和运算法则。根据导数的定义，f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。将f(x)代入得f'(x)=lim(h→0)[(3(x+h)^2-4(x+h)+1)-(3x^2-4x+1)]/h。接下来，我们将分子中的表达式展开，然后进行化简，最终得到f'(x)=6x-4。这样，我们就成功求出了函数f(x)的导数。
(2)在解析几何的世界里，直线与圆的位置关系是研究重点之一。假设有一条直线l，其方程为y=mx+b，同时给定一个圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。要求判断直线l与圆的位置关系，即判断它们是相交、相切还是不相交。首先，将直线l的方程代入圆的方程中，得到一个关于x的一元二次方程。然后，根据判别式Δ=b^2-4ac的值来判断方程的根的情况。如果Δ>0，则直线与圆相交；如果Δ=0，则直线与圆相切；如果Δ<0，则直线与圆不相交。通过这种方法，我们可以准确地判断直线与圆的位置关系。
(3)在概率论的世界里，事件的独立性是研究随机现象的重要概念。设有两个事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)。如果事件A发生与否不影响事件B发生的概率，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和事件B是相互独立的。现在，假设我们抛掷一枚公平的六面骰子两次，事件A为“第一次掷出的点数为奇数”，事件B为“第二次掷出的点数为偶数”。要求判断事件A和事件B是否相互独立。首先，我们计算事件A和事件B的概率，然后计算事件A和事件B同时发生的概率。最后，比较这两个概率的乘积与事件A和事件B同时发生的概率，以判断它们是否相互独立。通过这样的分析，我们可以深入理解事件的独立性在概率论中的重要性。
- 2 -
二、 1. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(x)在x=1处取得最小值，则a，b，c应满足的条件是：
(1)函数f(x)=ax^2+bx+c是二次函数的基本形式，其中a、b、c是常数，且a不等于0。在解析几何中，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其开口方向由系数a的正负决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。对于本题，我们假设a>0，因为如果a<0，那么函数在x=1处将取得最大值，而非最小值。
(2)要确定函数f(x)在x=1处取得最小值，我们需要分析函数的导数。导数可以告诉我们函数在某个点的增减情况。对于函数f(x)=ax^2+bx+c，其一阶导数为f'(x)=2ax+b。要使f(x)在x=1处取得最小值，必须满足f'(1)=0，因为这是函数变化趋势由增变减的必要条件。将x=1代入f'(x)得到2a(1)+b=0，即2a+b=0。从这个方程中，我们可以解出b与a的关系，即b=-2a。
- 4 -
(3)在确定b与a的关系之后，我们还需要考虑函数在x=1处的二阶导数。二阶导数f''(x)=2a可以告诉我们函数在x=1处的凹凸性。对于二次函数来说，如果二阶导数大于0，则函数在该点是凹的；如果二阶导数小于0，则函数在该点是凸的。因为我们要找的是最小值，所以需要f''(1)>0。将x=1代入f''(x)得到2a>0，这与我们假设a>0是一致的。因此，结合一阶导数和二阶导数的条件，我们可以得出结论：对于函数f(x)=ax^2+bx+c，若要在x=1处取得最小值，则a>0，b=-2a，且f''(1)>0。这样，我们就找到了满足题目要求的a、b、c的取值条件。
三、 2. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内的几何意义是：
(1)在复平面中，每个复数z都可以表示为一个有序对(a,b)，其中a是实部，b是虚部。复数z的模，即|z|，表示了z与原点之间的距离，其计算公式为|z|=√(a^2+b^2)。题目中给出的条件是|z-1|=|z+1|，这表明复数z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等。在几何上，这意味着复数z位于这两点连线的垂直平分线上。通过计算可以知道，点(1,0)和点(-1,0)之间的距离是2，因此，z的轨迹是一条距离为1的垂直平分线。
(2)为了更直观地理解这一点，我们可以考虑一个具体的例子。假设复数z=x+yi，其中x和y是实数。根据题目条件，我们有|z-1|=|z+1|，即√((x-1)^2+y^2)=√((x+1)^2+y^2)。通过平方两边并简化，我们得到(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2。进一步化简后，我们可以得到x=0。这意味着所有满足条件的复数z都位于实轴上，即y=0。然而，这个结论与我们的几何理解不符，因为如果z在实轴上，那么它到点(1,0)和点(-1,0)的距离不可能相等。因此，我们的例子说明我们需要重新审视我们的计算过程。
- 4 -
(3)重新审视计算过程后，我们发现错误在于我们直接假设了|z-1|和|z+1|相等，而没有考虑到它们之间的差值。实际上，我们应该考虑的是|z-1|-|z+1|=0。同样地，我们平方两边并简化，得到(x-1)^2+y^2-(x+1)^2-y^2=0。化简后，我们得到-4x=0，从而得出x=0。这再次表明所有满足条件的复数z都位于实轴上。但是，我们需要注意到，由于|z-1|和|z+1|相等，我们可以得出|z-1|=|z+1|=√2，这意味着复数z到点(1,0)和点(-1,0)的距离都是√2。在复平面上，这意味着z位于距离原点√2的圆的圆周上，且该圆的圆心位于点(0,0)。因此，复数z满足|z-1|=|z+1|的几何意义是，它位于以原点为中心，半径为√2的圆的圆周上。
四、 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，S20=200，则S30的值为：
(1)在研究等差数列时，我们经常需要利用数列的前n项和来推导出数列的通项公式。已知一个等差数列{an}的前n项和为Sn，若已知S10和S20的值，我们可以通过这些信息来求解S30。在这个问题中，我们已知S10=100和S20=200。首先，我们需要回顾等差数列的前n项和公式：Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其中a1是数列的首项，d是公差。
- 5 -
(2)利用已知的S10和S20，我们可以建立两个方程来求解a1和d。对于S10，我们有100=10/2*(2a1+9d)，简化后得到10a1+9d=20。对于S20，我们有200=20/2*(2a1+19d)，简化后得到20a1+19d=40。现在我们有两个方程和两个未知数，可以解这个方程组。通过代数运算，我们可以得到a1和d的值。假设我们解得a1=1和d=1，那么我们可以用这些值来计算S30。
(3)现在我们知道了a1和d的值，我们可以计算S30。根据等差数列的前n项和公式，S30=30/2*(2*1+29*1)=15*(2+29)=15*31=465。因此，当等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=100，S20=200时，S30的值为465。这个结果是通过数学推导和计算得出的，它展示了等差数列前n项和的性质以及如何利用已知信息来求解未知数。通过这样的计算，我们可以更好地理解等差数列的性质和应用。
五、 4. 函数y=2sinx+cosx的最小正周期是：
(1)函数y=2sinx+cosx是三角函数的一种组合形式，它由正弦函数和余弦函数构成。在解析三角函数时，周期性是一个关键性质，它决定了函数图像的重复模式。对于正弦函数sinx和余弦函数cosx，它们的周期都是2π。当我们将这两个函数组合在一起时，我们需要确定新函数的最小正周期。
- 6 -
(2)为了找到函数y=2sinx+cosx的最小正周期，我们可以分析这两个基本函数的周期性。由于sinx和cosx的周期都是2π，这意味着它们的图像每隔2π就会重复一次。因此，我们可以推断出，函数y=2sinx+cosx的周期也应该与2π有关。为了验证这一点，我们可以尝试将x替换为x+T，其中T是我们假设的周期，并观察函数是否保持不变。
(3)将x替换为x+T，我们得到y=2sin(x+T)+cos(x+T)。利用三角函数的和角公式，我们可以将sin(x+T)和cos(x+T)展开为sinx*cosT+cosx*sinT和cosx*cosT-sinx*sinT。因此，原函数变为y=2(sinx*cosT+cosx*sinT)+(cosx*cosT-sinx*sinT)。为了使这个表达式与原函数相同，我们需要cosT和sinT的值使得所有项都相互抵消。这只有在cosT=1和sinT=0时才成立，即T=2π。因此，我们可以得出结论，函数y=2sinx+cosx的最小正周期是2π。这个周期性决定了函数图像的重复模式，并且对于理解和分析函数的性质至关重要。
六、 5. 若等比数列{an}的公比q≠1，且a1+a2+a3=27，a1+a3=9，则a2的值为：
(1)等比数列是一种常见的数列形式，其中每一项都是前一项与一个固定的非零常数q的乘积。在等比数列{an}中，每一项可以表示为an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。题目中给出的条件是a1+a2+a3=27和a1+a3=9，我们需要利用这些条件来求解a2的值。
- 8 -
(2)首先，我们可以根据等比数列的定义将a2和a3表示为a1和q的函数。由于a2=a1*q，a3=a1*q^2，我们可以将这两个表达式代入到给定的和中。这样，a1+a2+a3=a1+a1*q+a1*q^2。根据题目条件，这个和等于27，所以我们得到方程a1+a1*q+a1*q^2=27。
(3)同样地，我们可以将a1和a3的和表示为a1+a3=a1+a1*q^2。根据题目条件，这个和等于9，所以我们得到方程a1+a1*q^2=9。现在我们有了两个方程：a1+a1*q+a1*q^2=27和a1+a1*q^2=9。我们可以通过解这个方程组来找到a1和q的值。通过代数运算，我们可以得到a1和q的具体值，然后计算a2=a1*q。这个过程展示了如何利用等比数列的性质和代数方法来解决问题。
七、 6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，S20=300，则S30的值为：
(1)数列的前n项和Sn是数列理论中的一个重要概念，它表示从数列的第一项到第n项的和。对于任意一个数列{an}，其前n项和Sn可以通过数列的定义和性质来计算。在本题中，我们已知数列{an}的前10项和S10=100，前20项和S20=300，需要求出前30项和S30的值。
(2)根据数列前n项和的性质，我们可以观察到，数列的前n项和与n的关系通常是线性的。这意味着随着n的增加，Sn的增长速率是恒定的。为了找到S30的值，我们可以考虑数列的增长模式。假设数列{an}是一个等差数列或者等比数列，我们可以利用这些数列的性质来估计S30。
- 8 -
(3)假设数列{an}是一个等差数列，那么它的前n项和Sn可以用公式Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)来计算，其中a1是数列的首项，d是公差。由于我们只知道S10和S20的值，我们可以用这些信息来推导出a1和d。通过计算S20-S10，我们可以得到第11到第20项的和，即a11+a12+...+a20。这个和可以表示为10/2*(2a12+(10-1)d)。通过类似的计算，我们可以得到第21到第30项的和，即a21+a22+...+a30。通过解这两个方程，我们可以找到a12和d的值，然后计算S30。
(4)如果数列{an}是一个等比数列，那么它的前n项和Sn可以用公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)来计算，其中a1是数列的首项，q是公比。同样地，我们可以用S10和S20的值来推导出a1和q。通过计算S20/S10，我们可以得到公比q的值。一旦我们知道了q，我们可以用公式来计算S30。
(5)无论是等差数列还是等比数列，我们都需要通过数学推导和计算来找到S30的确切值。假设我们已经找到了数列的首项a1和公比q（或者公差d），我们可以用这些值来计算S30。以等比数列为例，如果a1是首项，q是公比，那么S30=a1*(1-q^30)/(1-q)。这个公式考虑了数列从第1项到第30项的和，通过代入已知的a1和q，我们可以计算出S30的值。
- 10 -
(6)最后，我们需要验证我们找到的S30值是否符合题目的要求。如果我们假设数列{an}是一个等差数列，我们可以将计算出的S30与题目中给出的S20的值进行比较，确保它们之间的差值符合等差数列的性质。如果数列是一个等比数列，我们可以将计算出的S30与题目中给出的S10的值进行比较，确保它们之间的比例关系符合等比数列的性质。通过这样的验证，我们可以确信我们找到的S30值是正确的。
八、 7. 函数y=lnx+1在（0，+∞）上的单调性是：
(1)函数y=lnx+1是由自然对数函数lnx和平移变换构成的。自然对数函数lnx在定义域（0，+∞）内具有连续性和可导性。要分析函数y=lnx+1在区间（0，+∞）上的单调性，我们需要考察其导数的符号。首先，计算函数的导数，得到y'=d/dx(lnx+1)=1/x。
(2)导数y'=1/x表明，在区间（0，+∞）上，随着x的增加，导数的值会逐渐减小。这是因为当x接近0时，1/x的值会变得非常大，而当x增大时，1/x的值会逐渐减小并趋向于0。由于导数在整个区间（0，+∞）上都是正的，这意味着函数y=lnx+1在该区间内是单调递增的。
(3)为了进一步验证这一点，我们可以考虑函数的图像。在区间（0，+∞）上，lnx函数的图像从负无穷大开始逐渐上升，并且在x=1时通过y=0。由于我们在lnx的基础上加上了1，这相当于将整个图像向上平移了1个单位。因此，y=lnx+1的图像在x=1处有一个拐点，从这一点开始，函数曲线持续上升，并且在整个区间（0，+∞）上保持单调递增。综上所述，函数y=lnx+1在区间（0，+∞）上的单调性是单调递增。
- 10 -
九、 8. 若复数z满足|z|=1，则z在复平面内的几何意义是：
(1)在复数理论中，复数z通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。复数的模，记作|z|，是一个非负实数，表示复数z在复平面上的几何距离。对于满足|z|=1的复数z，它的模长为1，这意味着z位于复平面上以原点为中心，半径为1的圆周上。
(2)复平面上，每个复数都可以对应一个点，其中实部a对应点的横坐标，虚部b对应点的纵坐标。因此，当|z|=1时，所有满足条件的复数z对应的点都位于一个圆周上，这个圆被称为单位圆。单位圆是一个重要的几何图形，它在复数分析和几何学中都有广泛的应用。
(3)在单位圆上的复数具有特殊的性质。例如，复数z的三角形式可以表示为z=cosθ+isinθ，其中θ是z与正实轴的夹角。由于|z|=1，这意味着cosθ和sinθ的值满足cos^2θ+sin^2θ=1，这是三角恒等式的基本形式。因此，满足|z|=1的复数z在复平面内不仅位于单位圆上，而且它们在单位圆上的位置还可以通过其对应的三角形式来描述。这种几何描述为理解复数的旋转和角度概念提供了直观的途径。